2018年河南理工大学数学与信息科学学院612数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设z=siny+f（sinx －siny ）, 其中f 为可微函数，证明:
【答案】设u=sinx－siny , 则
所以
2． 设f （X ）在
上n+1阶导数且. 由微分中值定理
求证:
..
【答案】将f （a+h）在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开
对
在a 点作同样的展开, 有
将上式代入式（1）可得
比较式（2）、式（3）, 且有
, 则
9
故
3． 设当
因
为
时, 时
,
, 而
, 所
以
. 证明:f 与g 两者中至多有一个在x=0连续.
, 从
而
, 这与题
设
及
【答案】反证法, 假设f （x ）、g （x ）都在x=0连续, 则
矛盾. 故f 与g 两者中至多有一个在x=0连续.
4． 设f （X ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内有二阶导数, 且
求证:
（1）函数f （x ）在（0, 1）内恰有两个零点; （2）至少存在一点
, 使得
（见图）:
【答案】（1）函数f （x ）在[0, 1]上有惟一的最小值点
图
显然
, 否则
, 这与
矛盾. 又因为
否则由凹函数的最大值在端点达到, 导致于是有所以导致（2）令
又根据第（1）小题,
, 使得
有一个零点, 这f" （X ）>0矛盾
, 注意到由
推出, 所以
»
于是
故有
即
, 这又与
. 又因为f （x ）在[0, 1]上连续,
, 使得
矛盾.
如果f （x ）在（0, 1）内有三个零点, 由罗尔定理, 函数在（0, 1）内有两个零点,
. 再由F （x ）的连续性, 存在, 使得. 即.
5． 设证明并说明其中等号何时成立.
【答案】由于
因此
当且仅当
即
时, 原不等式中的等号成立.
6． 设S 为非空有下界数集. 证明:
【答案】必要性, 设任一元素x ,
充分性, 设取
则又因为
则
因为是S 的下确界, 所以是S 的一个下界. 于是, 对于S 的所以是S 中最小的数. 即并且对于S 中的任意元素x , 所以是S 的下确界, 即
, 即是S 的一个下界.
对于任意
二、解答题
7． 求曲面
的切平面, 使其垂直于平面
和x －y －2=2.
【答案】设曲面在点知P 0应满足:
解得
故所求切平面为:
8． 求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面:
（1）（2）
【答案】（1）因
在点,
在点
所以切线方程为
即
法平面方程为
处的切平面垂直于所给两平面, 由曲面在点处切平面方程