2018年湖北大学数学与统计学学院810数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 若f （x ）在R 上存在三阶连续导数, 且
, 有
*
证明:f （x ）至多是二次多项式. 【答案】只需证:将
在X 处作泰勒展开
将上两式代入所给的等式中, 比较两端可得
当
时, 有
由三阶导数的连续性, 有
2． 设
【答案】因使得当令
收敛, 且在
且
在
上一致连续, 证明
上一致连续, 故对于
时, 有
则由积分第一中值定理得,
使得
因也即取
收敛, 故级数故对上述的则当
收敛, 从而存在
使得当
即
时,
.
时, 因
故存在惟一的
, 使得.
易见
, 且
3． 设u （x , y ）, v （X
, y ）是具有二阶连续偏导数的函数, 证明:
（1） （2） 其
中
D
为
光
滑
曲
线
L
所
围
的
平
面
区
域
,
是u （x , y ）, v （x , y ）沿曲线L 的外法线
n 的方向导数
. 【答案】在格林公式中,
以P 代替Q , ﹣Q 代替P 得
其中
n 是L 的外法线方向
. （1）在（a ）中令
’
则得
即
（2）在（a ）中, 令
则得
即
（c ）式减（b ）式得
二、解答题
4． 利用迫敛性求极限:（1）
（2）
【答案】（1）因为所以当
时
于是
从而
,
而
而
由迫敛性得
（2）因为
所以当
时
又因为
由迫敛性得
5． 计算曲线积分
其中L 为圆周:
L 的方向是:从x 轴的正方向看过去为逆时针方向. 【答案】
6．
求下列幂级数的收敛半径及其和函数.
（1）
（2）（3）（提示:
【答案】（1）设
则
故收敛域为[﹣1, 1].
）
故收敛半径为1, 又
时级数收敛, 且x=1时
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