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一、证明题

1． 设曲线由极坐标方程

给出, 且二阶可导, 证明它在点

【答案】取曲线的参数方程为

. 则

处的曲率为

二、解答题

2． 设K>0, 试问k 为何值时, 方程

【答案】令如果方程则存在

如果

使得, 则

于是因为在区间使得

,

即方程

, 因而存在

, 所以存在

上应用连续函数根的存在定理可得, 存在

, 使得

, 使得

,

, 由此得

其中K>0.则存在正实根

即

根据罗尔中值定理,

, 于是

反之,

存在正实根.

有正实根. 综上所述, 原方程存在正实根,

当且仅当

3． 设

求

.

【答案】

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4

． 计算曲线积分

和点【答案】

5． 设是开集.

【答案】（1）任取可微, 连续;

（2）对于

时, .

则由定理可知

使开集

由于

所以y 0

为内点, 故f （D ）为开集.

6． 设:

二阶可导, 且有稳定点

; f

:

（1）试求f 的所有稳定点;

（2）证明f 的所有稳定点都是退化的. 即在这些稳定点处, 【答案】（

1）因为

r

令.

（2）设所以

其中和为连续函数; AMB 为连接点

的任何路线, 但与直线段AB 围成已知大小为S 的面积.

, 而且适合（1） f 在D 上可微, 且连续; （2）当时

, 则

使

, 因为

是开集f :

则f （D ）且满足, 在D 上

且

是退化矩阵（即在稳定点处）.

, 则设的稳定

点的全体

为D , 所以f 的所有稳定点的全体为

, x 0是, 的一个稳定点, 因为

*

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即为退化矩阵（n=1时结论不一定成立）.

上一致连续, 且就有

,

取

且为正整数, 将[0, 1]区间k 等分. 记分点

由已知条件, 对每个

, 当nN 时, 有

. 令

有

,

, 记n=[x]2N, 因为

,

故

, 使得

. 再由式（2）, 有

艮P

,

,

, 有

. 试证:（n 为正整数）

,

,

7． 设函数（f x ）

在

只要对固定的故对上述则当nN 时, 有

【答案】因为f （x ）在上一致连续,

所以

则每个小区间的长度

即由式（1）, 有

本题亦可用反证法予以答: 若结论不对, 则存在记

由f （x ）在只要

就有, 则

, 对.

由

, 相应地存在或

上一致连续可知, 对上述

, 使得

的有界性知, 它存在一个收敛子列, 不妨设为它本身, 满足

于是, 当n 充分大时, 有

9

从而有

由此可得

这与

8． 试问函数

,

的假设矛盾.

在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论, 为什么?

, 所以, 柯西中值定理的第3个条件（不同时为零）得

【答案】显然, f （x ）和g （x ）在区间[-1, 1]上连续, 在区间（-1, 1）内可导,

不到满足, 不能应用柯西中值定理得到相应的结论.