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一、证明题

1． 设f f （x ）在有限区间上有定义，证明：（x ）在上一致连续若{xn}是中的柯西列, 则. 也是柯西列.

【答案】

:

对

, 由f （x ）在上一致连续, 则. 设{xn }是中的柯西列, 则对上述的

当m , n>N

时有但因

从而穿插之后序列恒有

, 故

, 从而

, 对有界, 因此

. 由

, 即

存在

也收敛于相同的极限,

亦收敛, 即为柯西列, 但其像序列

, 不是柯西列, 矛盾. 所以f （x ）在上一致连续.

:若f （x ）在上非一致连续, 则

, 当

且

时有

, 存在正整数N ,

为柯西列

.

, 虽然

.

,

中存在收敛子列

,

中相应的子列

二、解答题

2． 设f （x ）在（a , b ）内无上界, 求证

:

f x ）【答案】由于（在（a , b ）内无上界, 对10, 因为1不是上界, 所以对

20, 因为2不是上界,

所以

, 使得

由

3． 求下列幂级数的收敛区间:

（1）（2）

【答案】（1）记

, 则

所以原幂级数的收敛区间为（﹣1, 1）.

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, 使得

使得

;

,

使得对30, 因为3不是上界,

所以使得

依此下去, 产生一序列

对n0, 因为n 不是上界, 所以

及广义极限不等式知

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（2）令, 则原级数变为. 记, 则

所以原幂级数的收敛区间为 4． 设

【答案】因为

5

． 求

【答案】方法一令通过计算易知, =-1.注意到

求所以

, 即

-

或.

在全平面上的最大最小值.

,

, 可得驻点（1, 0）.

, 所以（1

, 0）为极小点, 极小值为f （1, 0）

于是有

由此可见, f （x , y）在全平面上无最大值. 而另一方面, :

即f （

x , y）在有界闭域

:方法二:先固定x , 求显然

于是

故

又由

方法三 用配方法

.

且f （1, 0） =-1即最小值为-1, 无最大值.

6． 求下列曲面在所示点处的切平面与法线:

（1）（2）

在点（1, 1, 2）

在点

第

3 页，共

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, 当

或时

上的最小值-1必是f （x , y ）在全平面上的最小值.

.

将f （x , y ）改写为:

‘可知f （x , y ）在R 2上无最大值.

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【答案】（1）令故切平面方程为

, 则

﹣2（x －l ）+（y －）+（z －2）=0,

法线方程为

（2）令

则

故切平面方程为

即

法线方程为

7． 试举例说明:在有理数集内, 确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立.

【答案】（1）设

（2）由的不足近似值形成数列（3）设M 是由数集内不成立.

（4

）时

,

的不足近似值形成的数

列

但其极限是

,

而

满足柯西条件（因为当m , n>N

不是有理数, 于是这个满足柯西条件的数列在有理数集内没

, 则S 是有界集, 并且

但

故

有理数集S 在Q 内无上、下确界, 即确界原理在有理数集内不成立.

这个数列是单调有上界的, 2是它的一个上

界. 它的上确界为于是它在有理数集内没有上确界. 因此, 单调有界原理在有理数集内不成立.

的所有不足近似值组成的集合. 则1.4是M 的一个下界, 2是M 的一个上界.

, 故在有理数集内不存在聚点. 因此, 聚点定理在有理

即M 是一个有界无限集, 但它只有一个聚点

有极限. 因此, 柯西收敛准则在有理数集内不成立.

8． 讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D 上的一致收敛性:

（l

）（2）（3）（4）

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