2018年中山大学公共卫生学院678数学分析与高等代数之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 试问函数
,
在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论, 为什么?
, 所以, 柯西中值定理的第3个条件（不同时为零）得
【答案】显然, f （x ）和g （x ）在区间[-1, 1]上连续, 在区间（-1, 1）内可导,
不到满足, 不能应用柯西中值定理得到相应的结论.
2． [1]导出下列不定积分对于正整数n 的递推公式:
（1）（3）（1）（3）
【答案】[1]（1）
（2）
（3）
（4）
移项, 得
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（2
）
（4
）
; （2
）
（4
）
[2]用题[1]所得递推公式计算:
[2]（1）
（2）
（3）
（4）而
移项, 得
故有
3． 已知
是
上的正的连续函数, 且
不等式得
从而
由于
收敛, 所以
求证:
【答案】由
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则
即得
4． 设
（这个函数在x=y时不连续）, 试证由含参量积分
所确定的函数在（﹣∞
, ∞）上连续,
并作函数F （y ）的图像. 【答案】由于当
时,
所以
它在
上连续,
, 因此当y<0
时
时, f （x , y ）= ﹣1,
F （y ）的图像见图
图
5． 若对任何充分小的
令
, f 在, 则
, 且
上连续. 能否由此推出f 在（a , b）内连续.
是f 的间断点,
于是, x 0是f 在区间
【答案】能. 用反证法. 假如f 在（a , b）内不连续, 则必有某一点上的一个间断点. 这与题设矛盾,
故f 在（a , b ）内连续.
6．
求下列不定积分:
（1）由于
在
（2
）
时,
上连续, 故其原函数必在
, 当
即
, 因此
, 所以
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【答案】（1）当时,
连续可微. 因此
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