2017年湖南师范大学高等数学之工程数学—线性代数考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． A 取何值时，非齐次线性方程组
⑴有惟一解；⑵无解；（3）有无穷多解？ 【答案】系数矩阵A 的行列式为
当当
时，即当时，增广矩阵成为
可见，当
时，
可见
2． 求一个正交变换把二次曲面的方程
【答案】记二次曲面为f=l, 则f 为二次型，它的矩阵为
由
所以A 的特征值为对应于
解方程Ax=0, 由
于是方程组无解.
化成标准方程.
于是方程组有无穷多解；
时，R （A ）=3, 方程组有惟一解；
得单位特征向量对应于特征值
解方程（A —2E ）x=0.由
得单位特征向量
对应于特征值
解方程（A-llE ）x=0.由
得单位特征向量令
则P 为正交阵，并且正交变换
即为所求，在此变换下，二次曲面的方程化为标准方程
3． 设
（1）证明
是A 的n-1重特征值；
（2）求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 【答案】
首先证明
是A 的n-1重特征值. 注意到A 为对称阵，故A
与对角阵
=1, 从而R =1, 就是A 的全部特征值. 显然R （A ）（A ）
是A 的n-1重特征值.
的对角元之和为
又由特征值性质：A 的n 个特征
为A 的（惟一的）非零特征值.
相似，其中
于是只有一个非零对角元，即
其次，求A 的非零特征值，因再求A 的特征向量. ①对应于
解方程.Ax=0.由
值之和为它的n 个对角元之和，从而由上所证知
得n-1个线性无关的特征向量为：
②用两种方法求对应于方法一：
由对称矩阵性质知
的特征向量
的非零解. 而由⑴式
都正交，
即是方程
知
故可取方法二：由有 4． 设向量组线性表示.
两边转置得这样
就是A 的n 个线性无关的特征向量
按定义，即知A 有非零特征值线性相关，且
证明存在某个向量
且对应特征向量为
，使能由
【答案】方法一、
因为向量组使
线性相关，由定义知，存在不全为零的数
，
按足标从大到小考察上式中系
数
. 此足标
全为零矛盾. 这时（1）式成为
，设其第一个不为零的数
为
由
知
. 也
即，
但
如若不然，
该式成为，此与这些系数不
于是上述向量即满足要求. 方法二、记
. 由题设，A 的列向量组线性相关，故
线性表示.
设是A 的行阶
因
能由
梯形，则中一定存在不含非零首元的列
，注意到的第1列是含非零首元的，故
线性表示，故A 中对应的也能由
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