2017年兰州交通大学数学基础与计算之工程数学—线性代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设向量组B
:
线性表示为
无关的充要条件是矩阵K 的秩R （K ）=r.
【答案】方法一、记
于是
，则有B=AK.（2）
但K 含r 列，
有
即R （K ）=r，k 为列满秩矩阵.
必要性：设向量组B 线性无关，知R （B ）=r.又由B=AK，知充分性：设R （K ）=r.要证B 组线性无关. 由于
因此，向量组B 线性无关.
方法二、由（2）式，因R （A ）=S，A 为列满秩矩阵，则知R （_B）=R（K ）。于是B 组线
性无关 2． 设
能由向量组A
:
，其中K
为
矩阵，且A 组线性无关. 证明B 组线性
问λ为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求其通解. 【答案】由于系数矩阵是方阵，其行列式
当当
即
且
时，方程组有惟一解.
时，增广矩阵成为
可见R （A ）=2, R （B ）=3
，当
时，増广矩阵成为
方程组无解；
知R （A ）=R（B ）=1，方程组有无穷多解，且其通解为
3． 验证：
（1）2阶矩阵的全体；
（2）主对角线上的元素之和等于0的2
阶矩阵的全体； （3）2阶对称矩阵的全体个基.
【答案】（1）显然对于矩阵的加法和数乘是封闭的，并且满足线性运算8条规律，由定义
，对于矩阵的加法和数乘构成线性空间. 在中取向量组
那么向量组线性无关. 事实上. 若有
另一方面，对于任意
即A 可由向量组线性表示. 综上，向量组（2）显然①.
②量
组
是的一个基（从而的维数为4）。
对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，并写出各个空间的一
中矩阵的加法和数乘满足线性运算的8条规律. 又，
故对加法封闭：
，故对数乘封闭，由上述可知S 对上述线性运算构成线性空闻. 取向
，与（1）类似. 可证向
量组
，A 可由向量组
线性表示为
线性无关，
且
于是向量组是的一个基（因而其维数为3）。
（3）因为对称矩阵的和与数乘仍是对称矩阵，即S 对于矩阵加法和数乘是封闭的，与（2）同理，S 对于上述线性运算构成线性空间.
取向量组
那么①向量组线性无关，事实上，若有
②则A 可由向量组. 线性表示为故向量组是的
一个基（从而它的维数为3）。 4． 设
【答案】因
其中
故
于是
5． 由
，
，试证
所生成的向量空间记作
线性无关，
也线性无关. 又因
于是
则知向量组
与
等价，从而
对应的特征向量依次为
求A.
【答案】因A 的特征值互异，故知向量组P 为可逆阵，且有
用初等行变换求得
线性无关，于是若记矩阵
则
6． 设3阶矩阵A 的特征值为
由
，
求
所生成的向量空间记作
【答案】因对应分量不成比例，故
于是