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一、证明题

1． 证明：若

【答案】

2．

设级数

【答案】级数可记为

一个

又

都是及

时

，为

上正的递减且收敛于零的函数列，每一个

在

设

为收敛于零的函数列，

故

都是则

又对每一个

上一致收敛，从而也必收敛.

在

上一致收敛.

均有

在

上的单调函数，则

一致有界. 由每

存在，则

上不仅收敛，而且一致收敛.

上的单调函数可得

是单调的，由狄利克雷判别法可知，原级数在

3． 设可微函数列

对意

且m

个小区间上收敛，所以对于点

对任意

在

在

在

上收敛

，上作分割

在上一致有界，证明：

对一切

【答案】依题意

，

上一致有界，

故存在

及任意

的区间长度

存在N , 使得当

必存在某小区间

使

满足

时，对任意

由微分中值定理，可得

有

因为(/»:在

即对任意从而

4． 设

在

存在N , 当]上一致收敛.

时，对任意. ，有

是具有二阶连续偏导数的函数，证明：

其中D 为光滑曲线L 所围的平面区域，而是

沿曲线L 的外法线n 的方向导数.

【答案】在格林公式中，以P 代替

代替P 得

其中n 是L 的外法线方向. (1) 在

中令

则得

即

(2) 在

中，令

则得

即

(c ) 式减

式得

5． 设

为[0, 1]上的连续函数列，

满足

证明

【答案】

由

又

由有

注意到对于每一个

存

在

为单调递增数列，现令

有

则对任意的从

而

在[0，1]上一致收敛.

知，对任意

的

为[0, 1]上的连续函数列，故存

在，由开覆盖定理，存

在

存

在

有

对任意的

，

使

得且

由此得到满足上述要求的覆盖[0, 1]的开区间

族

6． 设

在称为

上单调增加，但不必连续，

且的不动点).

二等分，

分点记为

否则取

取

若

求证

：

取

使得即可.

若

.

【答案】方法一用区间套定理.

将

当再将

二等分，分点记

为

若

否则，取这样保证有可无限地

进行下去，得到一个闭区间列

时，

取

这样保证有即可.

若

使得

取

当

时，

取

如此继续下去，要么到某一步时，得到一分点即可；要么这种步骤

它满足如下性质：

由闭区间套定理，使得

又由的单调性，有

由此，利用即⑴由

(2)

由⑴、(2) 知，

的单调递増性，可得

方法二用确界原理. 令

及的单调性知，

. 由f 的单调性，

而

显然

所以

故有上确界c. 易知 故

故

当然，

7． 设S 为非空有下界数集. 证明：

【答案】必要性，设的任一元素X ，

充分性，设取

则

. 又因为

则

因为是S 的下确界，所以是S 的一个下界. 于是，对于S 所以是S 中最小的数. 即并且对于S 中的任意元素

即是S 的一个下界.

对于任意

所以是S 的下确界，即

8． 用有限覆盖定理证明聚点定理.

【答案】设有界无限点集

显然若有聚点，则必含吁

中. 假设