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一、证明题

1． 证明：若

【答案】

由单调递增数列.

进一步，由由设

2． 设正项级数

【答案】因为收敛，进而由比较原则得

3． 设函数明：(1) 存在

【答案】(1) 令

收敛.

证

单调递增且有上界，知

则有

收敛，证明级数

得收敛.

所以也收敛. 义由已知碍

及

收敛，所以

即

的构造，

知

则数列

收敛，并求其极限.

，可推出

为严格

在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0, 1) 内可微，且

使得

(2) 存在则

使得

函数函数

在闭区间[0, 1]上连续， 在闭区间[0，1]上连续.

使得

即存在

使得

由连续函数的零点存在定理知，存在

(2) 令显然在闭区间[0, 1]上连续，在开区间(0，1) 内可微. 由于

且由(1) 的结论知，存在根据罗尔中值定理，存在由于

所以有

使得使得

即

即

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..

4． 设函数f 在点x=l处二阶可导. 证明：若

【答案】由复合函数求导法则可得

则在处有

由

得

故当X=1时

5． 设

【答案】因为

在原点的某邻域内连续，且

而

所以

6． 设与都在

上可积，证明

在也可积。又

且可积函数的和、差、数乘仍可积，所以

7． 证明:

若

在

【答案】对

作分割

上

对

使

于是

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证明

上也都可积。

可积知.

在

上可积，从而

在

上

【答案】由

在上均可积。

则

有

不成立的有限个点

上可积, F

在上连续，且除有限个点外

有

使其包含等式

为部分分点，在每个小区

间使用拉格朗日中值定理，则分别存

在

因为

在

上可积，所以令

有

二、解答题

8． 求椭圆

的内接矩形中面积最大的矩形.

则矩形面积为

求又

即点

是函数

在

内的最大值点，从而也是函数

在

内的最大值点，

的最大值点等价于求.

的最大值点. 从

【答案】设内接矩形的第一象限内的顶点为

故最大内接矩形的面积为

9． 确定下列函数的单调区间：

【答案】减.

（2）f （x ）的定义域为因此. 在

f （3）（x ）的定义域为上，

递减.

（4）f （x

）的定义域为

和

上均为单调递増.

故.

在定义域上恒正，f （x

）在

导函数为

递减；在

故在

递增 上

递增；在

故在

递增在

递

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