2017年福建师范大学数学与计算机科学学院838线性代数与数学分析[专业硕士]之数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 已知为三维空间中的有界区域，的边界为分段光滑的曲面，在
上 连续可偏导. 求证
：【答案】不妨设
于是有
2． 若
为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则
，由连续函数的局部保号性知：
，
有故
3． 证明数列
收敛，因此有公式
式中
577216... 称为尤拉常数，且当
所以
时，.
并利用该公式求极限
【答案】因为
于是有
各式相加得
于是
即所以
下界. 其次
单调递减. 从而数列{xn}收敛，设
即
，
【答案】由题设存在使得对一
切
为外法向量，u (x ，y ，z )
且连续，所
以
它的近似值为0.577216，或表示成利用上面的结论知
两式相减得
所以
4． 1) 设
(1) (2) 若
则
证明：
(又问由此等式能否反过来推出
) ；
2) 应用上题的结论证明下列各题： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 若
(8) 若
【答案】(1)
因为
于是当
则则时，有
其中
的
存在正整数
使得当
时，有
所以对于任意
的
存在正整
数
当
时，
有
又因为所以对上面
取
则当
时，有
故
由这个等式不能推出(2) 根据极限保号性，由
有
由1)(1) 的结论可得
再由迫敛性得因此，由迫敛性得2)(1) 因为
(2) 令
(3) 令
所以
则
如果a=0, 则
综上所述，有
由第1)(2) 题知，
则
由第1(2) 题知，
(4) 令
则
由第1)(2) 题知，
) .
(5) 令
则
由第1)(2) 题知，
因而
(6) 令
则
由第3(1) 题得知，
例如
可得
如果a>0, 那么
但不收敛.
由平均值不等式
且