2017年东南大学数学系601数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 1) 证明：若数列
满足下列条件之一，则
是无穷大数列：
2) 利用1) 题(1) 的结论求极限：
1)(1) 因为【答案】时，
于是
由此得，当n>N时，所以
也是无穷大数列.
，设r 是一个满足不等式
于是，当n>N时，
因为r>l, 所以
2)(1)
是无穷大数列. 因此，
是无穷大数列，
即
是无穷大数列.
的实数，由数列极限的保号性知，存
(2) 因为
，
由
知
是无穷大数列，
所以对于
存在正整数N ，使得当n>N
在正整数N ，使得当n>N时，
根据上题(1) 的结论有
(2)
于是
所以
故
2． 设
【答案】由.
3． 用区间套定理证明确界原理.
【答案】设是非空有上界的数集，b 是S 的一个上界，a 不是S 的上界，显然令
区间
且
令
于是有
且
如此下去，得一区间套由区间套定理知，存在
首先，其次，界，故
4． 证明
：
于区间
(其中由于
在
) 一致连续，但是于(0，1) 内不一致连续。 内连续，
从而在
内一致连续，
则在区间
有因为
因而
所以当n 充分大时有
，其具有性质：不是S 的上界，是S 的上界
且
往证
即是的一个上界.
而不是的上界，所y 不是的上
若
不是的上界，
则取
，
若
是的上界，
则取
若
是的上界，则取
若不是的上界，则取..
. 于是得
证明：
代入得
.
【答案】(1)
由于
内也一致连续。 (2) 利用定义，取
存在
取尽管有
(为定值)
但是
5． 1) 设
(1) (2) 若
证明：
，从而函数在区间(0，1) 内不一致连续。
(又问由此等式能否反过来推出
则
) ；
2) 应用上题的结论证明下列各题： (1
)
(2
) (3
) (4
) (5
) (6
) (7)
若(8)
若
【答案】(1) 因
为
于是当
则则时，有
所以对于任意
的
存在正整
数
当
时，
有
其中
的
存在正整数
使得当
时，有
又因为所以对上面
取
则当
时，有
故
由这个等式不能推出(2) 根据极限保号性，由
有
由1)(1) 的结论可得
再由迫敛性得
如果a=0, 则
例如
可得
如果a>0, 那么
但不收敛.
由平均值不等式
且