2018年北京理工大学数学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设
试证
为枢轴量，其中k 为已知常数: 【答案】因为
，故
其中
是自由度为n-1的非中心t 分布，其非中心参数
为已知常数. 又
所以
的分布与
无关，即为枢轴量.
为抽自正态总体
的简单随机样本. 欲估计
2． 某单位有一台电话总机和200台电话分机, 在同一时刻每台分机以0.05的概率使用外, 且每台分级使用外线与否是相互独立的, 试用中心极限定理估计该单位总机需多少条外线, 才能保证每台分机以90%的概率使用外线.
【答案】设同时使用紫外线的分机数为X ,
设此单定安装的外线共有N 条, 则应用中心极限定理
又查表知
则
故至少要安装14条外线.
3． 从一副52张的扑克牌中任取5张，求其中黑桃张数的概率分布.
【答案】记X 为取出的5张牌中黑桃的张数，则X 的可能取值为0, 1，2, 3, 4, 5. 将52张牌分成两类:一类为13张黑桃，另一类为39张除黑桃外的其他花色，则由抽样模型得
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即
4． 设总体密度函数为1个样本，并取拒绝域为
【答案】由定义，检验的势函数
为检验
，试求检验的势函数以及检验犯两类错误的概率. 是检验拒绝原假设的概率，为
. ；
在0.5到0.75间变动.
，现观测
当当
时，势函数就是检验犯第一类错误的概率，为时，1减去势函数就是检验犯第二类错误的概率，
即P
它是的函数，为
5． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有
【答案】因为p （x ）是一个偶函数，所以
，可得
（1）在所以
（2）
（3
）
中，令x=-t，则
，且从
6． 设总体以等概率取1, 2, 3, 4, 5, 现从中抽取一个容量为4的样本，试分别求
【答案】由古典概率可得
和的分布.
这就给出了
的分布列
表1
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类似地，从而
这就给出
的分布列
表
2
7． 设a 为区间
上的一个定点，随机变量X 服从区间上的均匀分布. 以Y 表示点X
到a 的距离. 问a 为何值时X 与Y 不相关.
【答案】由题设条件知
又因为
所以由此方程等价于
从中解得在
内的实根为
即
时，X 与Y 不相关.
可得方程
8． 在区间（0, 1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率.
【答案】这个概率可用几何方法确定，在区间（0, 1）中随机地取两个数分别记为x 和y ，则（x ，y ）的可能取值形成如下单位正方形示为
其面积为
，而事件A “两数之和小于7/5”可表
，其区域为图1中的阴影部分.
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