2018年北京林业大学林学院725数学(自)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明:
【答案】
将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得
第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得
这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.
2． 设
为来自
的i.i.d 样本，其中，样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法，在下而在
下
的MLE 为
分别为
的MLE.
未知.
）.
证明关于假设【答案】记
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
于是似然比统计量为
在
时
，由于
，故只需考虑
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的情形，
此时
为 的单调增函数，故此时的似然比统计量是传统的t 统计量的增函数，
即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域由t 检验的结论知，
3． 设证明:统计量
【答案】分几步进行: （1）若这是因为其中（2）若故
仅在
且的反函数当
则
上取值，所以当为连续严增函数，则也存在. 于是
当
时，
的分布函数为
所以
这是由于y 仅在
当
这是参数为1的指数分布函数，也是自由度为2的（3）由
由（1）与（2）可知
4． 任意两事件之并
可表示为两个互不相容事件之并，譬如
的相互独立性可导致
分布函数，即
上取值，
时，有
，这就完成了证明.
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （X ）是连续严增函数，
服从
相互独立，
（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明
【答案】⑴
（2）利用加法公式可得
5． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布
试证明:【答案】设
相互独立. 则
所以
. 由此得
和
的联合密度为
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所以
可分离变量，即U 与V 相互独立.
且X 与Y
6． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则
【答案】记这正是二项分布
7． 设随机变量
【答案】
8． 设A ，B ，C 为三个事件 ，且
.
证明:【答案】由所以得
. 进一步由
得
得
.
又因为
，
，试证明:
因为
的特征函数，由唯一性定理知
所以由X 与Y 的独立性得
二、计算题
9． 某大学随机调查120名男同学，发现有50人非常喜欢看武侠小说，而随机调查的85名女同学中有23人喜欢，用大样本检验方法在异？并给出检验的p 值.
【答案】设X 为120名男同学中喜欢看武侠小说的人数，为其真实比例，Y 为85名女同学中喜欢看武侠小说的人数，为其真实比例，
则
待检验问题为
由于这里样本量较大，可以采用大样本u 检验方法，注意到
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下确认:男女同学在喜爱武侠小说方面有无显著差