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一、计算题

1． 甲、乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷. 每当某人掷出1点时，则交给对方掷，否则此人继续掷. 试求第n 次由甲掷的概率.

【答案】设事件

为“第i 次由甲掷骰子”，记

所以由全概率公式

得

由此得递推公式

所以得

将

代入上式可得

由此得

由此可见，

2． 设

为抽自正态总体

这表明：骰子一直由甲掷的机会只有1/2

的简单随机样本，为使得的置信水平为的置信区间为

因此，样本容量n 至少为

是其样本.

的置信区间的

则有

长度不大于给定的L ，试问样本容量n 至少要多少？

【答案】

的置信水平为

，令

得

，

对应的区间长度为

3． 设总体密度函数为

（1）求g （θ）=1/θ的最大似然估计； （2）求g （θ）的有效估计. 【答案】（1）似然函数为

对数似然函数为

将对数似然函数求导并令其为0, 得似然方程

解之得

（2）令Y=-InX, 则

，从而有因此Y 〜Exp （θ）=Ga（1，θ）

于是

为求有效估计，需求出θ的费希尔信息量，注意到，lnp （x ，θ）=Inθ+（θ-1）lnx ,

于是

而

于是g （θ）的任一无偏估计的C-R 下界

为是g （θ）的无偏估计，且方差达到了C-R 下界，所以

的有效估计.

4． 设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

试求E （Y/X）. 【答案】

5． 有一个分组样本如下表:

表

1

从而是g （θ）

试求该分组样本的样本均值、样本标准差、样本偏度和样本峰度. 【答案】计算过程列表如下表:

表2

因而可得样本均值, 样本标准差、样本偏度和样本峰度分别为

6． 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

【答案】记事件为“第i 次取出不合格品”，i=1，2，D 为“有一件是不合格品”，E 为“另一件也是不合格品”.因为D 意味着：第一件是不合格品而第二件是合格品，或第一件是合格品而第二件是不合格品，或两件都是不合格品. 而ED 意味着：两件都是不合格品. 即

因为

所以根据题意得

7． 为了检验X 射线的杀菌作用，用200kV 的X 射线照射杀菌，每次照射6min ，照射次数为x ，照射后所剩细菌数为y ，下表是一组试验结果.

表

1

从表中数据可见：y 是随着x 的増加开始迅速下降，以后逐渐减缓，最后下降很慢. 据此可认为y 关于x 的曲线回归形式可能有如下形式

（1）

（2）（3）