2017年暨南大学信息科学技术学院432统计学[专业硕士]考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1. 设
是来自正态总体
的一个样本,对
考虑如下三个估计
(1)哪一个是
的无偏估计?
故有
这说明仅有
的无偏估计,而
的有偏估计.
(2)我们知道,估计的均方误差是估计的方差加上偏差的平方,即
而
这给出
于是
显然
所以
的均方误差最小.
从而
(2)哪一个均方误差最小? 【答案】(1)由于
2. 一颗骰子抛两次,求以下随机变量的分布列:
(1)X 表示两次中所得的最小点数; (2)Y 表示两次所得点数之差的绝对值.
【答案】(1)一颗骰子抛两次,共有36种等可能的结果.X 表示两次中所得的最小点数,则X 的可能取值为1,2,3,4,5,6。由确定概率的古典方法得
将以上计算结果列表为
表
1
(2)因为Y 表示两次所得点数之差的绝对值,所以1,的可能取值为0,1,2,3,4,5. 而
将以上计算结果列表为
表
2
3. 口袋中有n-1个黑球和1个白球,每次从口袋中随机地摸出一球,并换入一个黑球. 问第k 次摸球时,摸到黑球的概率是多少?
【答案】记事件
为“第k 次摸到黑球”,因为计算
较难,故先计算
由于口袋
中只有一个白球,而摸到球后换入的都是黑球,所以如果第k 次摸到白球变,故
4. 把n 个“0”与n 个“1”随机地排列,求没有两个“1”连在一起的概率.
2n 个位置上“1”占有n 个位置,【答案】考虑n 个“1”的放法:所以共有放法,于是所求概率为
具体可算得
随着n 的増加,此种事件发生的概率愈来愈小,
种放法,这是分母,
种
而“没有两个1连在一起”,相当于在n 个“0”之间及两头(共n+1个位置)去放“1”,这共有
则前面k-1次一定
不能摸到白球,即前面k-1次都摸到黑球,而换入的仍为黑球,即每次摸球时黑球数和白球数不
最后趋于零.
5. 口袋中有1个白球、1个黑球. 从中任取1个,若取出白球,则试验停止;若取出黑球,则把取出的黑球放回的同时,再加入1个黑球,如此下去,直到取出的是白球为止,试求下列事件的概率:
(1)取到第n 次,试验没有结束; (2)取到第n 次,试验恰好结束.
【答案】记事件为“第i 次取到黑球”,i=l,2,…. (1)所求概率为
用乘法公式得
(2)所求概率为
用乘法公式得
6. 某种设备的使用寿命X (以年计)服从指数分布,其平均寿命为4年. 制造此种设备的厂家规,若设备在使用一年之内损坏,则可以予以调换. 如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元,定
而调换一台设备制造厂需花费300元. 试求每台设备的平均利润.
【答案】令
,其中
即Y 是一台设备在使用一年之内损坏的台数,显然Y 〜b (1,p )
因为每台设备的利润为Z=100-300Y,所以每台设备的平均利润为
7. 学生在做一道有4个选项的单项选择题时,如果他不知道问题的正确答案,就作随机猜测. 现从卷面上看题是答对了,试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.
(1)学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是1/2; (2)学生知道正确答案的概率是0.2.
【答案】记事件A 为“题目答对了”,事件B 为“知道正确答案”,则按题意
有
(1)此时有
所以由贝叶斯公式得
(2)此时有
所以由贝叶斯公式得
8. 某人参加“答题秀”,一共有问题1和问题2两个问题. 他可以自行决定回答这两个问题的顺序. 如果他先回答一个问题,那么只有回答正确,他才被允许回答另一题. 如果他有60%的把握答对问题1,而答对问题1将获得200元奖励;有80%的把握答对问题2,而答对问题2将获得100元奖励. 问他应该先回答哪个问题,才能使获得奖励的期望值最大化?
【答案】记X 为回答顺序为1,2时,所获得的奖励,则X 的分布列为
表1