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一、证明题

1． 用概率论的方法证明:

【答案】设

为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为参数

服从参数

的泊松分布

故

又由泊松分布的可加性知, 理知

的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定

2． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为

试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数

所以由又因为

和

知X 与Y 不独立.

在对称区间上是偶函数, 故

从而

所以X 与Y 不相关.

3． 设

是来自

的样本，证明

为

没有无偏估计.

【答案】（反证法）假设的无偏估计，则

由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在=0处不存在导数. 因此，假不成立，即

没有无偏估计.

4． 设（）为n 维随机变量, 其协方差矩阵存在. 证明:若

使得

则以概率1

在各分量之间存在线性关系, 即存在一组不全为零的实数

【答案】由于使得

另一方面,

意味着B 非满秩, 故存在一组不全为零的实数向量

,

方差为零的随机变量必几乎处处为常数, 故存在常数a , 使得

5． 设事件A ，B ，C 的概率都是1/2，且P （ABC ）=+P（AC ）+P（BC ）-1/2.

【答案】因为

上式移项即得结论. 6． 记

证明

【答案】

由

得

证明：2P （ABC ）=P（AB ）

7． 设

服从多项分布

其概率函数为：

其中即

其中

，i=l, ……k ,

.

记

并把这一分布记作

. 证明：的后验

为参数，

若

的先验分布为Dirichlet 分布，

分布为Dirichlet 分布

【答案】因为的后验概率函数为

所以的后验分布服从Dirichlet

分布

，其中

8． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的

有

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

二、计算题

9． 用天平称某种物品的质量（砝码仅允许放在一个盘中），现有三组法码：（甲）1，2，2，5，10（g ）；（乙）1，2，3，4，10（g ）；（丙）1，1，2，5，10（g ），称重时只能使用一组砝码. 问：当物品的质量为lg ，2g ，…，l0g 的概率是相同的，用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少？

【答案】分别用X ，Y ，Z 表示用甲、乙、丙三组砝码称重时所用的砝码数.

；2个砝码可称4种物（1）用甲组法码称重时，1个砝码可称4种物品（1，2，5，10（g ））；3个砝码可称2种物品（8，9（g ）品（3，4，6，7（g ）））. 所以X 的分布列为列为

表

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