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一、计算题

1． 已知（X , Y ）的联合分布列如下:

试求:

（1）已知Y=i的条件下, X 的条件分布列, i=l, 2; （2）X 与Y 是否独立？ 【答案】（1）因为

所以在给定Y=1的条件下, X 的条件分布列为

在给定Y=2的条件下, X 的条件分布列为

（2）因为

所以由

知X 与Y 不独立.

2． 设二维随机变量

的联合密度函数为

求X 与Y

中至少有一个小于0.5的概率.

【答案】两事件

中至少有一个发生的概率为

3． 某班级学生中数学成绩不及格的比率X 服从a=l，b=4的贝塔分布，试求

【答案】贝塔分布Be （1，4）的密度函数为

且由

4． 设

【答案】记

知

为来自

的样本，试求假设样本的联合密度函数为

两个参数空间分别为

利用微分法可求出在上MLE , 于是似然比统计量为

通过简单的求导计算可知，

函数是

从而似然比检验等价于采用检验是等价的.

5． 设随机变量X 与Y 独立同分布, 其密度函数为

（1）求U=X+Y与V=X/（X+Y）的联合密度函数（2）以上的U 与V 独立吗？ 【答案】（1）

的反函数为

变换的雅可比行列式

在（0, 1）区间内单调递增，

在（

分别为

的MLE , 而在

上

的似然比检验.

为u 的

）上单调递减，于

做检验统计量，也就是说，似然比检验与传统的双侧卡方

所以在（U , V ）的可能取值范围

（2）因为U 与V 各自的边际密度函数分别为

内, 有

所以由

知U 与V 相互独立.

6． 随机变量（X , Y ）服从以点（0, 1）, （1, 0）, （1, 1）为顶点的三角形区域上的均匀分布, 试求

和

【答案】记此三角形区域为D （如图阴影部分）

.

图

因为D 的面积为1/2, 所以（X , Y ）的联合密度函数为

下求X 和Y , 各自的边际密度函数. 当0

当0

即X 与Y 同分布. 因此由贝塔分布的期望、方差公式可知

由于X 与Y 不独立, 所以先计算

由此得

最后得

7． 在安眠药试验中已求得四个样本方差：

请用Hartley 检验在显著性水平

下考察四个总体方差是否彼此相等.

【答案】这是关于方差齐性的检验问题，此处，r=4，m=6，由已知数据计算统计量H 的值为