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一、证明题

1． 设

证明： （1）（2）【答案】（1）由

是

的有效估计； 是知

的无偏估计，但不是有效估计.

为了获得

的元偏估计的C-R 下界，

是来自正态总体

的一个样本，若均值μ已知，

需要费希尔信息量，大家知道，正态分布的密度函数p （x ）的对数是

由此得的费希尔信息量

从而的无偏估计的C-R 下界为

是

的有效估计.

此下界与上述无偏估计的方

差相等，故此

（2）由于

可见，

即是的无偏估计，其方差为

为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于

从

而

的元偏估计的C-R 下界

为故

不是

由于无偏估

计

的方

差

的有效估计. 此处

，的无偏估计的C-R

下界与

的方差的比为

该比值常称为无偏估计的效.

2． 令X （n ，p ）表本服从二项分布b （n ，p ）的随机变量，试证明

：

【答案】

3． 设

为独立随机变量序列, 且

证明:

服从大数定律.

相互独立, 且服从大数定律.

两值之一，为总体的容量n 的

则检验犯第二类错误的概率

为

从而在并且要求

给定时，有

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

4． 设正态总体的方差

【答案】因为

为已知值，均值只能取或

样本均值. 考虑如下柃验问题

若检验拒绝域取

为

（1）试验证：（3）当

【答案】（1）由于

（2）若n 固定，当减小时怎样变化？当减小时怎样变化？

时，样本容量n 至少应为多少？

故检验犯第二类错误的概率为

这给出

也即

从而在

（2）若n 固定，当减小时，而导致增大.

同理可知：当减小时增大.

这说明，在样本量给定时，犯二类错误的概率一个变小另一个就会变大，不可能找到一个使得犯两类错误的概率都变小的检验方案.

（3）由

查表可得

给定时，有

就变大，由为常量可知就变小，从

于是

将

代入，有

即n 至少应为468.

5． 设从均值为

方差为

的总体中，分别抽取容量为

的两独立样本，

分别是

这两个样本的均值. 试证，对于任意常数a , b （a+b=l），数a ，b 使Var （Y ）达到最小.

【答案】由于

是容量分别为

都是的无偏估计，并确定常

的两独立样本的均值，故

因而

这证明了又由a+b=l知，

是的无偏估计.

从而

由求导知，当

时，

达到最小，此时

这个结果表明，来自同一总体的两个容量为^和&的样本的合样本（样本量为

是线性无偏估计类

6 设分别自总体．

试证，对于任意常数a , b （a+b=l），达到最小.

【答案】由已知条件有

且

独立. 于是

故

这证明了又

是的无偏估计.

从而

因而当

时，Var （Z ）达到最小，此时

）的均值

中方差最小的.

中抽取容量为

，的两独立样本其样本方差分别为

都是的无偏估计，并确定常数a , b 使Var （Z ）

该无偏估计为