2018年曲阜师范大学数学科学学院875线性代数与数学分析[专业硕士]之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
（1）
（2）计算重积分【答案】（1）令S 为由对称性显然可得
而
所以
（2）利用（1）的结果得
2． 设
在
上单调增加,
不成立, 那么显然则对
存在
使得
第 2 页，共 32 页
, 证明:
证明:
.
显然M 是非空的, 下证
【答案】设用反证法, 假设不妨设
是连续函数, 则对于任意的
于是
即证得
由于
与单调性矛盾, 因此假设不成立.
3． 设（f x ）
满足
则f
在在
上恒等于0.
, 其中g （x ）为任一函数. 证明:若,
【答案】反证法. 因f （x ）存在二阶导数, 故f （x ）在
上存在最大值和最小值. 设f （x ）在,
因
得
大值矛盾, 故M=0.同理可证m=0.
所以在
,
故
证M=m=0.假设
. 于
是
于是上
上连续. 由最小最大值定理知, f （x ）
现再
由
为最
上的最大值为M , 最小值为m , 并且
由费马定理
知
为f （x ）的一个严格极小值. 这与
二、解答题
4． 求下列函数所确定的反函数组的偏导数:
（1）
（2）
【答案】（1）因
求求
所以由反函数组定理, 得
（2）关于x 求偏导数得
解之得
5． 计算
, 其中S 为圆锥表面的一部分
这里为常数【答案】由于
则
第 3 页，共 32 页
.
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
6． 求下列积分
（1
）
（2）（3
）【答案】⑴由M 判别法知
在[a, b]内一致收敛. 所以
（2）,
p=l,
a=0,
b=x得
（3
）因为
, 所以x=0不是函数
在
因此含参量非正常积分
故由（2）的结论有
7． 计算:
其中
为
中z ≥0的部分.
的瑕点,
上一致收敛,
（提示:
可利用公式
）；
【答案】化简并利用高斯公式得
第 4 页，共 32 页