2018年南京邮电大学理学院602数学分析之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 在[a, b]上连续, 证明:存在一点<
, 使得
【答案】由连续函数的最大、最小值定理知, f （x ）在[a, b]上有最小值和最大值. 设其最小值为m , 最大值为M. 于是
. 由
和
得
由介值性定理知, 存在
2． 设
即
与
, 使得的最大零点为的符号一致. 又因为
, 证明:
, 所以
3． 证明下列结论:
f x ）（1）若（在[a, b]上严格递增, 且对f x ）（2）设（与g （x ）
在【答案】（1）假设从而有
（a ）为极限, 从而数列
当再证:当即
时有
时有
, 由g （x ）单调递增, 则有
, 矛盾. 从而当
4． 设f （x , y , z ）有连续的偏导数, 作自变量变换:y , z）变成F （u , v , w）. 证明:
【答案】方法一对t>0, 若将u , v , w 都换为tu , tv , tw, 则相应地x , y , z 也换成了 tx , ty , tz , 即
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, 另有一组正数满足..
上恒正或恒负.
, 因此
【答案】因为x 0是f （x ）的最大零点, 所以f （x ）在
）有
, 对任意正整数k ,
,
（正常数）, 即数列
的子列
知
,
, 使得, 于是
时有
, 即
, 则, 则, 使得
. 不以f
上有定义, g （x ）单调, 且
, 则
已知f （X ）在[a, b]上严格递增, 所以有
也不以f （a ）为极限, 矛盾, 于是
.
由
（2）不妨设g （x ）单调递增. 对
（反证法）若结论不成立, 即存在,
, 它把函数f （x ,
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在上式两边关于t 求导得
令
t=1可得
方法二由f （x , y , z ）
=F（u , v , w ）, 利用一阶微分形式的不变性可得
由变换式可知,
由此易知, 当
du=u,
dv=v,
dw=w时
, 有
反之也如此, 这表明结论成立. 5． 设
且
, 求证:
【答案】改写
6． 设
（1）
（2）若
【答案】（1
）因为
证明:
则
所以
又因为（2）因为
于是
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所以
所以对于
存在N , 使得当
时,
即
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因为
所以
二、解答题
7． 图所示为河道某一截面图. 试由测得数据用抛物线法求截面面积.
图
【答案】由定积分近似计算抛物线法公式得到
8． 设
, 其中y=f（x ）为由方程
, 得
所确定的隐函数, 求
及
【答案】由方程因
故
9． 应用换元积分法求下列不定积分:
（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13）（15）（17）（19）
（2） （4）
（6）
（8） （10） （12） （14）t （16）
（18） （20）
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