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一、证明题

1． 设函数f , g在x 0的某个领域上可导, 且

如果【答案】取

证明

由

其中A 是实数. 中值定理, 令

有

从而所以令

则

使得当

时, 有

将使

固定, 令

. 有

于是,

所以

2． 设f 是定义在

则由

知道

上的一个连续周期函数, 周期为p , 证明

【答案】

及, 使得. 于是由周期函数的积分性质, 得

因

及

所以

3． 证明:反常积分

【答案】因为

在

上一致收敛. 所以有

又因为

收敛, 根据魏尔斯特拉斯判别法可知

, 反常积分

4． 求证:

（1

）若（

2

）若

,,

则, 则

, 所以对任给定

, 存在m , 当n>m时

, 便有

于是, 对

;

在

上一致收敛.

【答案】（1

）因为有

注意到, 当m 取定时,

便是一个有限数, 再取N>m, 使得当n>N时, 有

这样, 当n>N时, 有

从而（2）因为

对

应用第（1）小题结论, 即得

5． 证明:若f 与g 都在

[a, b]上可积, 且g

（x

）在[a,

b]上不变号

, M 、m 分别为

f （x

）在[a, b]上的上、

下确界,

则必存在某实数【答案

】设

,

, 由定积分的不等式性质, 得

若

, 则由上式知

, 从而对任何实数

若令 6． 若

（1）

, 级数

发散,

, 证明: •收敛

. （固定）, 取适当大, 可使

. 由于

, 于是有

由柯西准则知, 级数（2）因为

, 所以

而级数

收敛于

, 故

收敛.

发散.

,

, 则得

, 则

, 且

.

均有

,

, 使得

. 因

,

, 所以有

发散; （2

）

【答案】（1）用柯西准则 取

所以对固定的N , 存在

趋向于

二、解答题