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一、证明题

1． 证明:若L 为平面上封闭曲线, l 为任意方向向量, 则方向.

【答案】令（n , x ）, （l , n ）, （l , x ）分别表示外法线与x 轴正向, l 与外法线n 以及l 与x 轴正向的夹角, 则有:

由于

2． 设正项级数

【答案】因为反之未必成立. 如

3． 设函数f （x ）在

求证:在【答案】令

上连续, 且

内至少存在两个不同的点

, 则有

, 使

又因为

所以存在sinx 恒为负,

都与

于是F （x ）在则存在

矛盾. 又当, 使得

时,

, 故, 即

上有三个不同零点, 再用罗尔定理, , 使得

. 因若不然, 则在

内或F （x ）sinx 恒为正, 或F （x ）

与

为常数, 且

收敛，证明收敛，故

亦收敛；试问反之是否成立？

所以收敛，而

在比较原则可知级数发散.

收敛.

则由格林公式

其中n 为曲线L 的外法线

二、解答题

4． 设f （x ）在

【答案】由条件得

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上连续, 且满足条件. 求证:f （x ）为一常数.

即

5． 计算五重积分

其中V :

【答案】当n=5时, 取m=2

, 则

6． 求分

, 取外侧.

【答案】球面在点（x , y , z ）处的法向量为

, 由两类曲面积分的关系, 有

其中

:

作极坐标变换, 有

7． 设

2

.

, 其中S 是球面

的第一卦限部

求它在（1, 0）点的偏导数

.

, 同样因. , 所以

,

,

, 所以

. , 同样因

.

【答案】方法一 因f （x , 0）=x, 所以方法二 因

得

可见求具体点的偏导数值时, 第一种方法较好.

8． 设f 为二阶可导函数, 求下列各函数的二阶导数:

【答案】 （1）

,

（2）

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（3）

9． 设K>0, 试问k 为何值时,

方程

【答案】令如果方程则存在如果

使得, 则

于是因为在区间使得

, 即方程

, 因而存在

, 所以存在

上应用连续函数根的存在定理可得, 存在

,

使得

, 使得

, , 由此得

其中K>0.则存在正实根

即

根据罗尔中值定理,

, 于是

反之,

存在正实根.

有正实根. 综上所述, 原方程存在正实根, 当且仅当

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