2017年昆明理工大学F001高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解:
【答案】（1）令
则
且原方程变为
分离变量，得
积
分得arctan=x+C, 即u=tan（x+C）, 代入u=x+y, 得原方程的通解y=-x+tan（x+C）。
（2）令u=x-y,
则
u=x-y，得原方程的通解
（3）令u=xy，则
且原方程变为
且原方程变为
即令
即
，代
入
则
且原方程变为
得原方程的通
解
即
积分得
即
即udu+dx=0,
积分得
，代入
代入u=xy。得原方程的通解（4
）将原方程写成
即
积分
得
（5）原方程改写成原方程变为
积分
得
2． 如果某国人口增长的速率为u （t ），那么
【答案】
令u=xy，即
整理并分离变量，得
则
且
代入u=xy，并整理，得原方程的通解
为
表示什么？
表示该国在[T1，T 2]时间段内增加的人口总量。
3． 设有一质量为m 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R=cv（其中C 为常数，v 为物体运动的速度，试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系。）
【答案】根据牛顿第二定律，
有关系式
方程成
为
得
于是
有
代入初始条件
积分
得
，得
得
并依据题设条件，
得初值问题
分离变量后积分
代入初始条
件
故所求特解（即下落的距离与时间的关系）为
4． 计算二重积分大整数。
【答案】将正方形区域D
用三条直线
。如图所示。
分成四个区域：
，其中
，
表示不超过
的最
即
故
二、计算题
5． 计算斯托克斯公式，计算下列曲线积分：
（1）
，其中为圆周
，若从x 轴的正
向看去，这圆周取逆时针方向；
（2）
，其中为椭圆
，若从x 轴正向看去，这椭圆是取逆时针方向；
（3）
圆周是取逆时针风向；
（4）
圆周是取逆时针方向。
【答案】（1
）取为平面法向量为
（图1）
由斯托克斯公式
的上侧被所围成的部分，则的面积为πa ，的单位
2
，
，其中是圆周，若从z 轴正向看去，这
，其中是圆周，若从x 轴正向看去，这
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