2017年解放军信息工程大学070400统计学应用统计数学基础复试之高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点（x , y ）处的切线斜率等于2x+Y。
，依题意有【答案】设曲线方程为y=y（x ）
由x=0，y=0，得C=2.故所求曲线的方程为
2． 如果在时刻t 以
表示什么？ 【答案】
表示在时间段[t1，t 2]内向水池注入的水的总量。
，即
的流量（单位时间内流过的流体的体积或质量）向一水池注水，
那么
3． 化下列方程为齐次方程，并求出通解
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）令4Y+2h+4k-6）dy=0.
令
原方程化为
（2X-5y ） dX-（2X+4y）dY=0,
即
则原方程成为积分
，又令
，有，即
，
。
解此方程组得h=1, k=1。故在变换x=X+1, y=Y+1下，
则
且原方程成为（2X-5Y+2h-5k+3）dx-（2x+
得故上式成为得原方程的通解（2）将原方程写成且原方程化为则原方程成为积分即
得原方程的通解（3）令+7k-3h+3）dY=0.
令
，解此方程组，得
故在变换
下，
则
将
且原方程成为（3Y-7X+3k-7h+7）dX+（7Y-3X
代入上式，
。又令，代入
，令，有
，
则
，即
，因
，
原方程化为（3Y-7X ）dX+（7Y-3X ）dY=0. 即
则原方程成为积分即将
代入上式，得原方程的通解
，
该方程属于
，则将
，且原方程成为代入上式，得原方程的通解
即
在几何上表示什么？
类型的，
一般可令
积分
，又令
即，得
，有
，
（4
）将原方程写成
。令
得
4． 设函数f （x ）在区间[a, b]上连续，且f （x ）≥0，那么
【答案】
表示xOy 面上，由曲线y=f（x ）, x=a, x=b以及x 轴所围成的图形绕x
轴旋转一周而得到的旋转体的体积。
二、计算题
5． 已知单摆的振动周期
，其中
1为摆长（单位为cm ），设原摆长为20cm ，
为使周期T 增大0.05s ，摆长约需加长多少？
【答案】由故
即摆长约需加长2.23cm 。
6． 判定下列级数的收敛性：
【答案】（1）知原级数发散。
（2）（3
）
而级
数
据比值审敛法知
（4）
敛法知原级数发散。
（5）
因
由于一般项不趋于零，故级数发散。
是收敛的（事实上
，
因
而级数
发散，故由极限形式的比较审敛法
，得
，故由比较审敛法知原级数收敛。 收敛）而级数
发散，故由极限形式的比较审
由比值审敛法知，当a<1时，级数收敛，当a>1时级数发散。 当a=1时，原级数成为
由p-级数的结论知，当s>1时级数收敛，当s ≤1时级数发散。
7． 由y=8, x=2, y=0所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得旋转体体积。
【答案】（1）图形绕x 轴旋转，该体积为Y 轴所得的立体）减去由曲线
；
（2）图形绕y 轴旋转，则该立体可看作圆柱体（即由x=2，y=8，x=0，y=0所围成的图形绕
，y=8，x=0所围成的图形绕y 轴所得的立体，因此体积为