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一、计算题

1． 设f （x ）在

上连续,

求T n （x ）（即确定系数最小.

【答案】设a n , b n 为f （x ）在

上的傅里叶系数, 而

上式第一、三项为常数. 由此可见, 当且仅当

时最小, 最小值

2． 设

且试证

因此,

又因为当

时

t

当

在[a, b]上一致收敛, 由柯西收敛准则,

有

于是有

由柯西收敛准则, 得

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）, 使均方差

. 上连续, 又有函数列

在

上也一致收敛.

在

上也一致连续.

且时, 有

在

上一致收敛,

在

【答案】由一致连续性定理可知,

在[a, b], 上一致收敛.

3． [1]求下列数列的极限:

（1）（2）（3）

[2]应用上题的结论证明下列各题: （1）（3）（5）（7）若（8）若

【答案】[1]（1）因为

而（2〉令（3）

因为所以

[2]（1）因为（2）令（3）令

所以

则则

可知,

可知,

（4）令

则

可知,

（5）令

可知,

则

由迫敛性可知

则则

所以

（2）（4）（6）

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因而

（6）令

则

. 可知,

（7）补充定义因为由题意得

（8）令

则

可知,

4． 计算第二型曲面积分

【答案】显然

因球面的外侧单位法向量为所以

5． 求摆线:

【答案】因

故质心坐标为

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令所以

则由

知

及

的质心, 设其质量分布是均匀的.