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一、解答题

1． 求圆的渐伸线（a , 0）与终点B

【答案】方法一:如图所示:

和连接两个端点:起点A

的直线段AB 所围成图形的面积, 并求渐伸线的弧长

.

图

所围图形面积为

方法二:

的面积

的面积

,

即得

方法三:用极坐标. 向径0B 的极角

当

时,

.

|的面积, 其中

又

>

于是

因为

所以弧长为

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为曲线的极坐标方程,

为

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2． 试确定曲线

（1

）（2）【答案】曲线（1）直线. （2）直线故曲线 3． 在

平面上, 光滑曲线L 过（1, 0）点, 并且曲线L 上任意一点

为常数）.

处的切线斜

率与直线OP 的斜率之差等于ax （

（1）求曲线L 的方程； （2）如果L 与直线

所围成的平面图形的面积为8, 确定a 的值.

则由题设条件知

解此微分方程并

【答案】

（1）设曲线L 的方程为注意到由y （1）=0可得曲线L

的方程为

（2

） L 与直线

的交点为（2, 2a

）,

于是

解得a=6.

4

．

设

【答案】

5． 确定下列函数的凸性区间与拐点:

【答案】（1）时,

. 故y 的凹区间为（2）

-,

. 当

, , 凸区间为

时,

, 由；

得, y 的拐点为

. 当

. 时,

; 当

-为由方程

所确定的可微隐函数,

求gradz.

上点

的斜率为2. 由

得

,

的切线平行于直线y=2x—3.

； .

在x 处的切线斜率为的斜率为1. 由

得x=1, 故曲线

.

上点（1, 0）的切线平行于直线

上哪些点的切线平行于下列直线:

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当（3）得（4）由由区间为

（5）当

得,

得或

时, ,

. 故y 的凹区间为

, 由

, y 的凸区间为.

由于

得

.

（即.

由

）无实根, 故y 无拐点.

得x=－l , 于是拐点为（－1, 0）. 由

和

,

, 故拐点为

, 解得

和

, 时

,

, 凸区间为

;

当和

, 拐点为

.

或

, 凸区间为

和

.

由.

, 由时

,

得

,

故y 的凹区间

为

得

, 解得

. 故y 的凹

. 故y 的凹区间为（－1, 0）, y 的凸区间为

6． 应用斯托克斯公式计算下列曲线积分:

（1）

所围平面区域上侧在曲线的左侧;

（2）（3）

为顶点的三角形沿ABCA 的方向.

【答案】（1）记L 为曲面S : z=1—x —y （

）的边界, 由斯托克斯公式知

且

同理

因此原积分=0.

（2）记L 为该椭圆的边界, 则

其中S 为所交椭圆面,

是S 在xy 面的投影.

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其中L 为x+y+z=1与三坐标面的交线, 它的走向使

>其中L 为

. , x=y所交的椭圆的正向;

, 其中L 是以A （a , 0, 0）, B （0, a , 0）, C （0, 0, a ）