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一、证明题

1． 设函数f 在[a, b]上有定义, 且对于任给的

使得

证明f 在[a, b]上可积. 【答案】因为, 存

在相应的分割T , 使得

, 因此

而

2． 证明反常积分

【答案】因为

所以只需证明记

收敛即可.

则对任意

在

上单调递减, 并且

收敛, 故

收敛.

是收敛的.

, 故

即f 在

上可积.

这里

表示函数g （x ）在相应小区间上的振幅. 所以

又因为函数g （x ）在[a, b]上可积,

所以对任给的

存在[a, b]上的可积函数g ,

由狄利克雷判别法可知

3． 设f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导.

, 则F （0）=0, 且

【答案】令

求证:, 使得

»

由此推出

下面分两种情况讨论:

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第一种情况, 使得第二种情况

, 使得

使得

4． 设

,

即得,

即得

.. 根据罗尔定理, 有

*

, 从而本题得证.

.

则

与F （1）异号,

于是根据连续函数的中间值定理可知上用罗尔定理, 有

. 从而本题也得证.

的确界.

.

令

,

则当

现在对F （x ）在

为单调数列. 证明:若,

则

存在聚点, 则必是惟一的, 且为

中含有无穷多个中只能含有即任给

【答案】

设时

,

假设,

使综上, 若

是一个单调递增数列.

假设,

于是

是它的两个不相等的聚点,

不妨设

中的点,

设

中有穷多个点, 这与是聚点矛盾. 因此, 若

0, 按聚点的定义

,

存在聚点, 则必是惟一的.

无界,

则

存在正整数N , 当n>N时,

有界. 对任给的

, 的确界.

证明函数列

在（a , b）

, 于是小于M 的只有, 由聚点定义,

必存在

有限项, 因此不可能存在聚点, 这与已知题设矛盾,

故

按上确界定义知有聚点, 必惟一, 恰为

5． 设f 为定义在区间U , b）内的任一函数, 记内一致收敛于f

【答案】因为

故对任意

从而

取

, 当n>N时, 对任意

, 均有

在（a , b ）内一致收敛于f

二、解答题

6． 求最小实数C , 使得满足

【答案】一方面

另一方面, 如果取

, 则有

. 而

由此可知, 最小实数C=2.

的连续函数f （x ）都有

.

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7． 设f （x , y ）为连续函数, 试就如下曲线:

（1）L :连接 A （a , a ）, C （b , a ）的直线段;

（2）L :连接A （a , a ）, C （b , a ）, B （b , b ）三点的三角形（逆时针方向）, 计算下列曲线积分:

【答案】曲线如图所示,

图

（1）直线段L （AC ）的方程y=a,

所以

（2）

8． 讨论下列各函数列

（a ）（b ）（1）（2）（3）

【答案】 （1）

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在所定义的区间上:

.

与的一致收敛性；

是否有定理的条件与结论.