2018年昆明理工大学质量发展研究院617数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 把函数
在（0, 1）上展开成余弦级数, 并推出
【答案】将f （x ）作周期为2的偶延拓, 得一连续的延拓函数
.
由收敛定理, 在（0, 1）内
当x=0时, 因延拓函数连续, 故上式右端收敛到f （0）,
即
2． 计算
【答案】由
令
推得
令
则有
3． 计算积分
其中
是球面
的外侧（R>0）.
【答案】利用高斯公式，再利用球坐标变换
可得
4． 求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量:（1）半径为R 的圆关于其切线的转动惯量:（2）边长为a 和b , 且夹角为妒的平行四边形, 关于底边b 的转动惯量.
【答案】（1）如图1. 设切线为x=R, 其密度为, 对任一点－x. 从而
, P 到x=R的距离为R
图1
（2）如图2, 设密度为, 于是
, !f ' A
图
2
5． 求下列级数的和:
（1）
（2）.
, 易知其收敛域为
, 由幂级数的性质知
【答案】（1）设
所以
故
（2）设
易知其收敛域为（-1, 1], 且
从而
故
6． 设
【答案】
由
又
求
的定义域和解
得
从
而
的定义域
为
二、证明题
7． 设f （x ）在
上二次可微, 且
证明:【答案】
及任意的实数h , 由泰勒公式, 有
在x 与x+h之
间
,
在x 与x-h 之间