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一、证明题

1． 设f （x ）在[a, b]上连续. 证明函数扩大而不减, 因而M （x ）是单调递增函数.

对当一方面, 即从而即

'

再证M （x ）在点当又当由此可知当所以当故

2． 证明:

（1）（2）【答案】（1）设界为M. 若记

则

注意到

攸敛, 利用优级数判别法可知,

在[0, 1]上一致收敛.

. 因为

所以

在[0, 1]上连续并且有界,

时,

有

时, 有时, 有

.

连续. 由

的任意性知M （x ）在[a, b]上连续.

综上所述, M （x ）在点

右连续.

,

. 又MU ）是单调递增的,

时, 有（否则, 若

, 左连续）. 于是当

. , 先证M （x ）在点时有

左连续. 对于是当

另一方面, 设f （x ）在

则当时有

, 因为f （X ）在点

时, 有

上的最大值点为

时有

连续, 所以

. ,

, ,

在[a, b]上连续.

【答案】由闭区间上连续函数的有界性知M （x ）在[a, b]上处处有定义, 又上确界随取值区间

由逐项积分定理, 有

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（2） （2）的证明包含在（1

）的证明之中.

3

． 设f

（x ）在

上有一阶连续导数, 且f （0）>0,

, 证明:

【答案】

, 由

, 有

对其取极限可得

由已知条件有

4． 设数列

设有

为（a , b ）中互不相同的点列，a n 为函数f n （x ）在（a , b ）上的惟一间断点.

在（a , b ）上一致有界，即存在正数M 使得

均成立. 证明：

函数

【答案】由上连续，

所以

在

上连续.

在x=ak 处连续，

在（a , b ）内的

，知

在（a , b ）内的间断点集为f （

在（a , b ）上一致收敛，在n x ）

对所有的n 与所

.

.

. 若

对任意固定的在a k , f k （x ） 在x=ak 处间断，

在x=ak 处间断，故函数

间断点集为

二、解答题

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5． 试作下列函数的图像:

（1）（2）（3）（4）（5）

【答案】各函数的图像如图1〜图5所示

.

图1 图2 图3

图4 图5

6． 试作适当变换, 计算下列积分:

（1）（2）

【答案】 （1）令于是

（2）令于是

, 则

则