2018年江西财经大学统计学院601专业基础之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若
【答案】由
的构造, 知
则数列
且
所以, 数列设
以
2． 证明曲线积分的估计式:利用上述不等式估计积分
【答案】因为
这里又
为曲线AB 上任一点的切向量的方向余弦; 有
圆的参数方程为
, 而
从而
, 故由迫敛性知
•
, 于是
, 其中L 为AB 的弧长
, 并证明
.
, 并
单调递减且有下界, 故其必收敛.
对
两边取极限,
得
解之,
得
所
收敛, 求其极限。
3． 设
点集存在
又且
其中
与在xy 平面中的点集E 上一致连续；与把点集E 映射为平面中的
在E 上一致连续.
,
就有
存在
, 因此
使当
为D 上任意两个点. 由于在D 上一致连续, 从而对任给的只要
在D 上一致连续, 证明:复合函数
【答案】设点
, 使对一切
在E 上一致连续, 因此, 对上述的时, 有
故复合函数
4． 设
在E 上一致连续.
在[0, 1]上连续, 求证:
【答案】分两种情况讨论.
（1）如果f （X ）在[0, 1]上不变号, 则
即要证的不等式成立.
如果f （x ）在[0, 1]上变号, 则存在又因为f （x ）在[0, 1]上连续, 存在
, 使得
使得
f
故有
即要证的不等式成立.
5． 证明:开集与闭集具有对偶性--若E 为开集, 则E c 为闭集；若E 为闭集, 则E c 为开集.
c c
【答案】（1）设E 为开集, 假设E 不是闭集, 则由闭集定义知, E 中至少有一个聚点不属于
（用微积分基本定理）
E c 设这个聚点为A , 则必有
c
, 使因为E 为开集, 所以存在点A 的某邻域U （A ）
c
c
因此, U
（A ）中不含有E 中的点, 这与A 是E 的聚点矛盾, 因此, 若E 为开集, 则E 为闭集.
c c c
（2）设E 为闭集, 假设E 不是开集, 由开集定义知E 中至少有一个点不是E 的内点, 设这个
点为B , 则 根据内点的定义知, 对点B 的任何邻域U （B ）都有U （B ）不含于E 即U （B ）中
c
含有E 中的点, 因此, B 为E 的聚点, 但与
是闭集矛盾, 因而, 若E 为闭集, 则E 为开集.
c
二、解答题
6． 求下列各曲线在指定点处的曲率:
（1）xy=4, 在点（2, 2）; （2）y=Inx , 在点（1, 0） （3）（4）【答案】（1）
,
,
在,
,
在的点
, 于是曲线在点（2, 2）处的曲率为
（2）
, 于是曲线在点（1, 0）处的曲率为
（3）
所求的曲率为
（4）
,
,
7． 求
【答案】由于
之和.
, 所以考虑幂级数
当
时, 逐项积分有
求导得
于是有
的点
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