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一、计算题

1． 设总体X 的分布函数为

是来自总体的简单随机样本，（1）求

量；（3）是否存在常数a ，使得对任意的

都有

其中为未知的大于零的参数

，

；（2）求

的极大似然估计

【答案】（1）由题意，先求出总体X 的概率密度函数

（2）极大似然函数为则当所有的观测值都大于

零时

，

（3）由于可知

令

得

的极大似然估计量为

独立同分布，显然对应的

由辛钦大数定律，

可得

故存在常数

使得对任意的

都有

也独立同分布，又有（1）

再由（1）（2）可知

，

2． 求下列分布函数的特征函数, 并由特征函数求其数学期望和方差.

（1）（2）

【答案】（1

）因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为

又因为

所以

（2）因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为又因为当t>0时, 有

所以当而当又因为

时, 有时, 有

所以

在t=0处不可导, 故此分布（柯西分布）的数学期望不存在.

3． 写出下列随机试验的样本空间：

（1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子；

（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；

（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，放回后再取出一个；（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，不放回后再取出一个.

【答案】

⑴共含有

（2）

（3）（4）（5）

4． 设

与

个样本点，其中0表示反面，1表示正面，（3）中的0与1也是此意.

共含有

个样本点.

共含有可列个样本点.

{黑黑，黑白，黑红，白黑，白白，白红，红黑，红白，红红}. {黑白，黑红，白黑，白红，红黑，红白}. 独立同分布, 其共同分布为

与

试求的相关系数.

【答案】先计算的期望、方差与协方差

.

然后计算

与

的相关系数

.

5． 将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：

（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率； （2）恰好有m 个空盒的概率；

（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率.

【答案】先求样本点总数，我们用N+1根火柴棒排成一行，火柴棒之间的N 个司隔恰好形成N 个盒子，并依次称它们为第1个盒子，第2个盒子，…，第N 个盒子，n 个球用“0”表示，考虑到两端必须是火柴棒方能形成N 个盒子，所以n 个（不可辨）球放入N 个（可辨）盒子中，就相当于把N-1根火柴棒（N+1根火柴棒中去掉两端的两根）和n 个“0”随机地排成一行，譬如N=4, n=3时，“10010111”表示第1个盒子中有2个球、第2个盒子中有1个球、第3、4个盒子中无球，这样一来，n 个球放入N 个盒子所有的样本点总数相当于：从N-1+n个位置任选n 个位置放“0”、其他位置放火柴棒，故样本点总数为

（1）记A 为事件“指定的某个盒子中恰有k 个球”，不失一般性，可认为第1个盒子中有k 个球，则余下n-k 个球放入另外N-1个盒子中，类似于样本点总数的计算，

此种样本点共有

考虑到球不可辨故

（2）记

为事件“恰有m 个空盒”，它的发生可分两步描述：

种取法.

第一步，从N 个盒子任取m 个盒子，共有

第二步，将n 个球放入余下的N_m个盒中，且这N —m 个盒子中都要有球，

这当然要求

：

或

否则第二步发生的概率为零，为了使第二步能发生，我们设想先把n 个

球排成一行，随机抽取球与球之间的n-1个间隔中的N-m-1个间隔放火柴棒即可，这有