2017年南昌大学数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
记
为
独立同分布，的取值有四种可能，其概率分别为
中出现各种可能结果的次数，
使
为θ的无偏估计；
所以
从而有
若使T 为θ的无偏估计，即要求
解之得
即（2）
对数似然函数为（略去与θ无关的项）
于是
注意到观测量
是随机变量，且
故
从而费希尔信息量为
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（1）确定【答案】（1）由于
（2）将V ar （T ）与θ的无偏估计方差的C-R 下界比较.
是θ的无偏估计.
所以0的无偏估计方差的C-R 下界为由于
于是
的方差为
即T 的方差没有达到θ的无偏估计方差的C-R 下界.
2． 设
为来自b （1，p ）的样本，试求假设
利用微分法，在上p 的MLE 为
的似然比检验. 两个参数空间分别为则似然比统计量为
通过稍显复杂的求导可知，当
时，
为的严增函数，而当
时，
关于的
【答案】样本的联合概率函数为
为的严减函数（对此性质，也可以画出
，从而拒绝域
图形看出）
这说明此时的似然比检验与传统的关于比率p 的检验是等价的，其中临界值水平确定.
3． 设离散随机变量X 的分布列如下, 试求X 的特征函数
表
【答案】
4． 设曲线函数形式为给出；若不能，说明理由.
【答案】能. 令
则变换后的函数形式为v=a+bu.
.
又因为
由于
所以
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由显著性
问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式，若能，试
5． 设X , Y 独立同分布, 都服从标准正态分布N （0, 1）, 求
【答案】因为X , Y 独立, 都服从N （0, 1）, 所以
6． 设
相互独立，且
试求中
（1）至少出现一个的概率； （2）恰好出现一个的概率； （3）最多出现一个的概率. 【答案】⑴（2）
7． 设取拒绝域为
【答案】
（3）P （最多出现一个）=P（恰好出现一个）+P（都不出现）=2/9+1—26/27=7/27.
是来自0-1总体b （1，p ）的样本，考虑如下检验问题
，求该检验犯两类错误的概率.
则
，于是犯两类错误的概率分别为
8． 设随机变量X 满足
【答案】由，
已知
及题设条件
得
从中解得
试求
，
二、证明题
9． 设0 【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由 ，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ） 10．设 【答案】因为 存在, 试证: 是随机变量Y 的函数, 记 第 4 页，共 25 页 独立，由此得 即 , 它仍是随机变量. 在