2017年上海理工大学管理学院811概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明：
【答案】
2． 任意两事件之并
可表示为两个互不相容事件之并，譬如
【答案】⑴
（2）利用加法公式可得
3． 设不是有效估计.
【答案】设
是0的任一无偏估计，则
即
将（*）式两端对求导，并注意到
有
这说明
求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它
（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明
我们将（**）式的两端再对H 求导，得
由此可以得到则
从而，进一步，不等式的下界.
4． 设从均值为
为的UMVUE.
C-R 下界为
故此UMVUE 的方差达不到C-R
记
方差为的总体中，分别抽取容量为的两独立样本，分别是
这两个样本的均值. 试证，对于任意常数a , b （a+b=l），数a ，b 使Var （Y ）达到最小.
【答案】由于
是容量分别为
都是的无偏估计，并确定常
的两独立样本的均值，故
因而
这证明了又由a+b=l知，
是的无偏估计.
从而
由求导知，当
时，
达到最小，此时
这个结果表明，来自同一总体的两个容量为^和&
的样本的合样本（样本量为
是线性无偏估计类
5． 设
是来自
中方差最小的.
的样本，考虑如下假设检验问题
确定.
，n 最小应取多少？
）的均值
若检验由拒绝域为
（1）当n=20时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率（3）证明：当
时，
【答案】（1）由定义知，犯第一类错误的概率为
这是因为在成立下，而犯第二类错误的概率为
这是因为在成立下. .
（2）若使犯第二类错误的概率满足
即
，或
，查表得：
由此给出
因而凡
最小应取34, 才能使检验犯第二类错误的概率
（3）在样本量为n 时，检验犯第一类错误的概率为
当
时.
，即
检验犯第二类错误的概率为
当
时，
即
才可实现，这一结论在一般场
注：从这个例子可以看出，要使得与都趋于0, 必须行的，故一般情况下人们不应要求与同时很小. 6． 设
【答案】由
服从均匀分布
可知
试证
及
都是的无偏估计量，哪个更有效？
的密度函数分别为
从而
故，由又可算得
从而
故
合仍成立，即要使得与同时很小，必须样本量n 很大. 由于样本量n 很大在实际中常常是不可
知两者均为的无偏估计.
即更有效.
事实上，这里x （3）是充分统计量，这个结果与充分性原则是一致的.