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一、证明题

1． 设

【答案】因为离散场合,

当

时, g （y ）以概率

. 取

由于在Y 取固定值时,

上式对Y 的任一取值都成立, 即场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.

2． 若证明

：

【答案】因为

. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般

也是常数, 故有

存在, 试证:

是随机变量Y 的函数, 记

, 它仍是随机变量. 在

所以得P （AB ）=P（B ）. 由此得

结论得证.

3． 设随机向量（

令

证明:

两两不相关的充要条件为

则

同理可得

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）间的相关系数分别为且

【答案】充分性:若

由此得必要性:若由此得

两两不相关.

两两不相关, 则由上面的推导可知

4． 设随机变量X 与V 相互独立, 且证:

相互独立, 且

【答案】因为X 与Y 的密度函数分别为

试

下求（U , V ）的联合密度函数,

因为可比行列式为

所以, 当

时, 有

可

见

5． 设时,

可分离变量, 故

为一独立同分布的随机变量序列, 已知

近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.

【答案】

因为

为独立同分布的随机变量序列,

所以

也是独立同分布的随机变量序列.

试证明:当n 充分大

U

与

V

相互独立, 其

中

的反函数为

, 且变换的雅

根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为

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6． 设是来自Rayleigh 分布Ra （θ）的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为

（1）求此分布的充分统计量；

（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题

的拒绝域；

（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】（1）样本的联合密度函数为

由因子分解定理知，的充分统计量是（2）注意到

由此可见

是

的无偏估计.

当

较大时，

拒绝原假设

是合理的.

故对

的拒绝域为

其中c 由概率等式可以证明，

当

在原假设由等式

成立下，有

可得

记

是分布的

分位数，可得

譬如，当n=15，即当检验统计量（3）由

可知

时，

所以

c=21.887.

时，将拒绝原假设

从而有

认为

利用分布的分位数可确定临界值c.

时

，

确定. 为了确定c , 需要充分统计量

由此可

得

的分布.

或

者

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