2017年上海理工大学管理学院811概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自泊松分布
的样本, 证明
是充分统计量.
有
【答案】由泊松分布性质知, 在给定T=t后, 对任意的
该条件分布与无关, 因而
是充分统计量.
2． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为
的泊松分布.
【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有
这表明：Y 服从参数为
的泊松分布.
利用此结果计
3． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试证明：算
【答案】
由此得
4． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为
试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数
所以由又因为
和
知X 与Y 不独立.
在对称区间上是偶函数, 故
从而
所以X 与Y 不相关. 5． 设
是来自正态分布
的样本, 证明,
在给定
是充分统计量. 的条件密度函数为
【答案】由条件,
它与
无关, 从而
是充分统计量.
6． 设连续随机变量X 的密度函数P （X ）关于c 点是对称的，证明：其分布函数F （x ）有F （c-x ）=1-F（c+x）
，
由
对上式右端积分作变量变换y=c-t，则
【答案】由p （x ）关于c 点是对称的，知
再对上式右端积分作变量变换z=c+y，则
结论得证.
对称分布函数的这个性质可用图表示：
图
7． 设随机变量序列UJ 独立同分布, 其密度函数为
试证:
【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即
时, 有
当, 结论得证.
时, 有
令
8． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明：
【答案】
将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得
第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得
这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.