2017年上海理工大学管理学院811概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设总体为如下离散型分布
表
是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（（2）以必有
于是, 对任一组并
满足
中有个
有
表示
【答案】（1）给定（
）是充分统计量；
中等于的个数, 证明（
）的取值
设
）是充分统计量.
中有个
可以为0, 但
该条件分布不依赖于未知参数, 因而次序统计量（（2）因为给出（这只要通过令即可实现（这里默认因此,
2． 如果
【答案】记因为令
是充分统计量.
, 试证:
与X 的分布函数分别为
, 故存在, 因为
, 使当, 故存在
和时, 有
使当
, 时, 有 . 对任给的
取足够大的
和
使
1与
,
）,
是一一对应的,
）就可算得（
, 反之, 给出）
,
,
也可构造出（
, ）
）是充分统计量.
是F （x ）的连续点, 且
而
由M 的定义即可知当
_时, 有
因而
, 由的任意性知
结论得证.
3． 设二维随机向量（X , Y ）服从二维正态分布, 且
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
由条件知p<0, 所以
由此得
令
则
所以
其中
又由
知
这就完成不等式的证明.
, 所以有
而对于
4． 设为独立同分布的随机变量序列, 方差存在, 令
, 证明:则
服从大数定律.
对任意的
又设, 有
为一列常数, 如果存在
常数c>0, 使得对一切n 有
【答案】不妨设
因而
证明有
所以由马尔可夫大数定律知
5． 设
是来自几何分布
的样本, 证明
是充分统计量.
其分布列为
在给定T=t后, 对任意的一个样本
, 有
服从大数定律.
【答案】由几何分布性质知,
该条件分布与无关, 因而
是充分统计量.
这个条件分布是离散均匀分布, 可用等可能模型给其一个解释:设想有n —1个“1”和t 个“0”, 把它们随机地排成一行, 并在最后位置上添上1个“1”, 譬如
这n 个“1”把此序列分成n 段, 每段中“0”
的个数依次记为且
我们指出, 此种序列共有
这里诸服从几何分布,
, 而每一个出现是等可能的, 个（这是重复组合）
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