2016年昆明理工大学国土资源工程学院F001高等数学考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 求抛物面壳
【答案
】
。故
的质量。此壳的面密度为
在
xOy
。
面上的投影区
域
。因此
2． 在曲面程。
【答案】
设所求点为面的法向量为（1, 3, 1）。
按题意，n 垂直于平面，故有
求得为
3． 已知
【答案】
第 2 页，共 29 页
上求一点，使这点处的法线垂直于平面
，
曲面在该点处的一个法向量为
，并写出这法线的方
，平
。于是所求点为，法线方程
，求及，又f （0）是否存在？
由，故f ’（0）不存在。
4． 一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m ，另一端离开钉子12m ，分别在以下两种情况下求链 条滑下来所需要的时间:
（l ）若不计钉子对链条所产生的摩擦力; （2）若摩擦力为lm 长的链条的重量.
【答案】设链条的线密度为，则另一端离钉子离钉子x=x（t ）
即
解
得
又
将
，代入初始条件），取
则链条的质量为，当t=0时，x=12. （如图）
又设在时刻t ，链条的一端
按牛顿定律，有
由特征方
程
即故
（或
）
求得方程通
解
（或即
（1）若不计摩擦力，则运动过程中的链条所受力的大小为
且有初始条
件代入方程，
得
得
x=20，
得
（2）摩擦力为1m 长链条的重量即为偌，则运动过程中的链条所受力大小
为
按牛顿定律，有
且有初始条件
满足该条件的特解为
取x=20, 得
即
即
5． 设有质量为5kg 的物体, 置于水平面上, 受力F 的作用而开始移动（如图所示）
。设摩擦系数
, 问力F 与水平线为多少时, 才可使力F 的大小为最小。 【答案】如图所示, 力F 的大小用
表示, 则由
第 3 页，共 29 页
知
设令又
的最大值点, 这时, 即, 得驻点
,
所以驻点
为极大值点, 又驻点惟一,
因此
时, 力F 的大小为最小。
为函数
, 则
图
6． 下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的? 如果是对的，说明理由; 如果是错的，试给出一个反例。
（l ）如果函数f （x ）在a 连续，那么│f （x ）│也在a 连续; （2）如果函数│f （x ）│在a 连续，那么f （x ）也在a 连续。 【答案】（1）对。因为（2）错。例如
则│f （x ）│在a=0处连续。而f （x ）在a=0处不连续。
，所以│f （x ）│也在a 连续。
二、证明题
7． 证明函数
【答案】因为
，即
8． 设函数
。
在x=0的某邻域内具有n 阶导数, 且
,
当
时极限为零。
所以对
取
，则当
时，
就有
试用柯西中值定理证明:
【答案】已知
在x=0的某邻域内具有n 阶导数, 在该邻域内任取点x ,
由柯西中值定理得
, 其中
又
第 4 页，共 29 页
介于0, x 之间。
相关内容
相关标签