当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 画出下列方程所表示的曲面：

【答案】（1）如图1所示； （2）如图2所示； （3）如图3所示；

图

1 图2 图3

2． 利用欧拉公式

故

【答案】因为

所以

3． 求方程

的近似根, 使误差不超过0.01。

在[l, 3]上连续, 且

第 2 页，共 28 页

知

【答案】设函数,

由零点定理知至少存在一点实根。又方程

, 即

,

使, 即方程在区间（1, 3）内至少有一

, 故函数f （x ）在[1, 3]上单调增加, 从而在（l , 3）内有惟一的实根。

在（1, 3）内至多有一个实根, 因此方程现用二分法求这个根的近似值:

故误差不超过0.01的根的近似值为

4． 已知单摆的振动周期

，其中

1为摆长（单位为cm ），设原摆长为20cm ，

为使周期T 增大0.05s ，摆长约需加长多少？

【答案】由故

即摆长约需加长2.23cm 。

5． 设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm ，内高为20cm ，内半径为4cm. 求容器外壳体积的近似值.

【答案】圆柱体的体积公式为V 的增量△v ，因为

当R=4，H=20，△R=△H=0.1时

即溶器外壳的体积大约是

55.3

6． 求曲线

在三个坐标面上的投影曲线的方程.

z

.

，由题意，圆柱形容器的外壳体积就是圆柱体体积

，得

【答案】

在

，即

中消，故

去，

得

为曲线在xOy 面上的投影曲线方程.

第 3 页，共 28 页

在即

中消去y ，得，

，

故

xOz 面上的投影曲线方程.

同理，可得

为曲线在

，他就是曲线在yOz 面上的投影曲线方程.

二、证明题

7． 证明定积分性质

【答案】根据定积分的定义, 在区间[a, b]中插入n-1个点

, 任取

, 则

8． 设f （x ）在（a , b ）内二阶可导, 且有

【答案】由利用泰勒公式有

介于由

因此,

即

第 4 页，共 28 页

,

记

, 证明对于（a , b ）内任意两点

及,

知

之间:

故

,

故

介于之间。

及