2016年首都师范大学初等教育学院高等数学复试,考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 设有一平面薄板（不计其厚度），占有xoy 面上的闭区域D ，
薄板上分布有面密度为
的电荷，且
任取一点
， 则
在D 上连续，试用二重积分表达该薄板上的全部电荷Q.
，其面积也记为
.
. 通过求和、取极限，便
上分布的电荷
【答案】用一组曲线网将D 分成n 个小闭区域得到该板上的全部电荷为
其中 2． 设
【答案】
，而
3． 求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:
22
（1）y=x，x=y，绕y 轴；
。
，求
（2）y=arcsinx, x=1, y=0, 绕x 轴；
22
（3）x +（y-5）=16，绕x 轴；
，y=a（1-cost ）的一拱，y=0，绕直线y=2a。 （4）摆线x=a（t-sint ）【答案】（1）（2）
（3）该立体为由曲线减去由曲线
，
，
，，
，
，
所围成图形绕x 轴旋转所得立体
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所围成图形绕x 轴旋转所得立体，因此体积为
（4）该立体可看作由曲线y=2a，y=0, x=0, x=2πa 所围成的图形绕y=2a旋转所得的圆柱体减，则体积为
去由摆线y=2a，x=0, x=2a所围成的立体，计摆线上的点为（x ，y ）
，再根据摆线的参数方程进
，此时y=a（1-cost ），因此有
行换元，即作换元x=a（t-sint ）
4． 求下列常系数线性微分方程组的通解：
（1）
（2）
【答案】（1）记则有即
方程组可表示为
有
根
方程③对应齐次方程的特征方程
为
是特征方程的根，故令
即
于是方程③的通解为
又由方程①得
即可解得
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而
可得
是方程③的特解，代入③中并消去
故方程组的通解为
5．
计算曲面积分
分别如下：
【答案】抛物
面
与xOy 面的交线
为，又
于是，有
，
故
在xOy 面上的投影区
域
，
其中
为抛物面
在xOy 面上方的部分
，
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