2016年上海理工大学管理学院高等数学复试考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． a=3i-j-2k，b=i＋2j-k ，求
⑴a ·b 及a ×b ； ⑵（﹣2a ）·3b 及a ×2b ； ⑶a ，b 的夹角的余弦.
【答案】 ⑴a ·b=（3，﹣1，﹣2）（1, 2，﹣1） ·=3×1＋（﹣1）×2＋（﹣2）×（﹣1）
=3
⑵（﹣2a ）·3b=﹣6（a ·b ）=﹣6×3=﹣18 a ×2b=2（a ×b ）=2（5, 1, 7）=（10, 2, 14） ⑶
2． 设平面区域D 由直线x=3y，y=3x与x+y=8围成，计算
【答案】由分，如图所示，则
得
，由
得
和
两部
，直线x=2将区域D 分为
图
3． 边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深h 处，设a>b，液体的密度为ρ，试求薄板每面所受的压力。
【答案】如图，记x 为薄板上点到进水面的长边的距离，取x 为积分变量，则x 的变化范围为[0, 6]，对应小区间[x，x+dx]，压强为
，面积为adx ，因此压力为
图
4． 一飞机沿抛物线路径机的速度为的反力。
【答案】
抛物线在坐标原点的曲率半径为
所以向心力为
（y 轴铅直向上, 单位为m ）作俯冲飞行。在坐标原点O 处飞
, 飞行员体重G=70 kg。求飞机俯冲至最低点即原点O 处时座椅对飞行员
座椅对飞行员的反力F 等于飞行员的离心力及飞行员本身的重量对座椅的压力之和, 因此,
5． 按（x-4）的幂展开多项式
【
答, 。
,
故
6． 求函数
的泰勒级数，并验证它在整个数轴上收敛于这个函数。
,
,
,
案
,
】
,
因
,
为
【答案】在定点x 0处，因故
的泰勒级数为
因为对任意的有
，而（其中介于x 0\与x 之间）
所以在整个数轴上，有
于是得
二、证明题
7． 设函数
在x=0的某邻域内具有n 阶导数, 且
,
试用柯西中值定理证明: