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一、计算题

1． 化三重积分

（l ）由双曲抛物面（2）由曲面:（3）由曲面:（4）由曲面。

及平面及:

为三次积分，其中积分区域

分别是:

所围成的闭区域;

所围成的闭区域;

所围成的在第一卦限内的闭区域。

在

面上的投影区域由

及平面z=1所围成的闭区域;

【答案】（1）的顶z=xy和底面z=0的交线为x 轴和y 轴，故x 轴、y 轴和直线

因此

所围成。于是几可用不等式表示为

（2）

由

（图1）

和

得

，所

以

在

面上的投影区域

为

可用不等式表示为

因此

图1 图2

（3）由（图2）。于是

消去z ，得

可用不等式表示为

. 故在面上的投影区域为

因此

（4）显然成，

在面上的投影区域由椭圆

可用不等式表示为

和x 轴、y 轴所围

的顶为cz=xy，底为z=0（图3）. 故

图

3

因此

2． 设函数f （u ）具有二阶连续导数，

则

，求f （u ）的表达式。

【答案】设

，则

，则

满足

，

若

由条件对方程

，可知进行求解，其通解为

，其中

将初始条件

为任意常数 代入，可得

解得

，故f （u ）的表达式为

3． 利用柱面坐标计算下列三重积分：

（1）（2）

【答案】（1）由

，其中

是由曲面，其中

是由曲面和

及

及平面

消去Z ，得

从而知可表示为

在

面上的投影区域为

（图）。利用柱面坐标

，

所围成的闭区域； 所围成的闭区域。