2017年南京理工大学理学院616数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
令(1
) (2)
求证：
上可导，且导数只在
(0，1) 上可导，且导数只在
且
处不连续； 处不连续. 听以由连续性定理知.
【答案】(1) 因为又当
时，
因此从而
在上一致收敛. 于是函数
上可导，且
又因为上可导，导数在点处不连续，所以
在(2)
上可导，且导数只在点，
故由(1) 知
处不连续.
1) 上可导，在(0，且导数只在点
处
不连续.
2． 按定义证明下列函数在其定义域内连续：
【答案】(1)
的定义域是
因为
的图像关于原点对称，所以对于任给
的
限制
只需对X>0的情形进行证明. 设
.
由
得
取
由于是
在有限开区间
在
则当
时
知，
对于任给的
在其定义域内连续.
内可导，
且
的值如下：
使图中两阴影部分面积相等。
则至少存在一点
则
在闭区间
使
取
则当
于是，f (X ) 在其定义域内连续. (2) f (x ) 的定义域是R ,
任取
时
3． 证明：
若
【答案】补充定义
上满足罗尔中值定理的条件，于是存在一点使得
4． 设为上严格增的连续曲线(图) . 试证存在
图
【答案】作辅助函数
则
在
上连续可导. 由
为严格增函数可得
由根的存存定理. 存
内存在一点
使得
即
上式两端恰为两部分面积，故证得结论。
5． 证明：若f 在点连续，则是否必连续？
【答案】因为f (x ) 在
点
(1) 由不等式故(2) 由(3) 当
即
连续，所以对任给
的知，由在点连续.
在点
连续.
则
与
为
财，
而|f|
在连续，故
存
在
使得
当
时
也在点
连续. 又问：若
在I 上连续，那么f 在I 上
在上连续时，f
在上不一定连续. 例如
常值函数，在R 上处处连续，但在R 上处处不连续.
6． 设证明
(1) (3)
【答案】(1) 因
为
时，
有
当
同时有
故
(2)
对于任给的
时
，时，
存在
，
使得当则当
时
，
及
故
(3)
对于任给的
时
，时，有
取
，
存在
因
为
•，
使得当
，则当
时
，
时有
故
当使得
当
由局部保号性知，存
在
时，有
，
当使得当
再由函数极限的局部有界性知，
存在
时，有
. 取
成立，
因而
，则当
时，
(2)
所以对于任给
的
存
在
使得
当
二、解答题
7． 设曲面S 由方程
【答案】在球坐标变换
：
所确定，求曲面S 的面积.
之下，曲面S 的方程是