2018年广州大学数学与信息科学学院924数学[专业硕士]之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】
因为
. , 所以
2． 证明:级数
【答案】考察
显然m 适当大时, 有
从而
3． 设u n （x ）是[a, b]上非负连续函数, [a, b]上一定达到最小值.
【答案】记设
列, 仍记为{xk }, 不妨设
下证:u （x 0） =A. 反证法 若不然, 则由
, 使知,
, 使
, 当
由于S （递增, 故更有n x ）这样
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. 证明
.
,
于是
.
又因为
, 所以存在N , 当n>N时,
有
发散于.
. , , 使, 由于级数的通项趋于0, 故当
.
在[a, b]上点态收敛于u （x ）. 证明:u （x ）在
, 则S n （x ）递增趋向于u （x ）, 且
则存在点列
且
,
使 .
时, 有
.
存在收敛子
. 由致密性定理知
,
由S n （x ）在点x 0处的连续性知,
. 于是存在适当大的k , 使,
便有
这与
相矛盾.
二、解答题
4． 求下列极限:
（1）（3）（4）（6）
【答案】（1）极限而当（2）当（3）由于
时, 时, :不妨设
由所以
所以
则
所以
（4）
（5）
（6）因为
所以
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（2）
（5）（7）
在其有定义的邻域
内的值来决定.
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（7）设
是一个正整数, 则
所以
所以
5． 设
试证:若
在
则
上连续,
对任意
:收敛.
所以
有
另外
,
【答案】用比较判别法. 因为当即
时有
从而当
时有
若
可取
则
从而积分
收敛.
收敛,
根据比较判别法可知, 积分
6． 求曲面
【答案】由于
的面积, 其中a , b 是常数满足.
所以曲面面积为
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