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一、证明题

1． 证明:（1）两个奇函数之和为奇函数, 其积为偶函数;

（2）两个偶函数之和与积都为偶函数; （3）奇函数与偶函数之积为奇函数. 【答案】（1）设令

与

是D 上的两个奇函数,

则

所以（2）设则

k （-x ）=f（-x ）g （-x ）= f（x ）g （x ）=k（x ）

所以（3）设所以 2． 设

为递减正项数列, 证明:级数

的部分和为

与级数

同时收敛或同时发散. 的部分和为

因为

为递减的正项数列, 故

故若:又有

故若

收敛,

则

也收敛；

若

发散,

则

也发散. 由上可知两级数的敛散性相

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是D 上的奇函数, 与

是D 上的两个偶函数,

是D 上的偶函数.

和

为D 上的奇函数, 为奇函数.

都为偶函数.

为D 上的偶函数,

则

【答案】设级数

收敛,

则也收敛；若发散, 则也发散.

同.

3． 证明:设方程F （x , y ）=0所确定的隐函数y=f（x ）具有二阶导数, 则当

【答案】由题设条件可得

故

所以

4． 设

证明

的充要条件是

则时, 有则

即

为有界数列, 证明:

为无穷小数列.

即当

时, 有当

时, 有

即

对

, 又因为

时, 有

【答案】必要性, 若对

取充分性, 若则当

5． 设

时, 有

为无穷小数列,

当

所以

取

【答案】因时,

6． 设f 为定义在

因为f 在

对任意的可得, 对任意的

即

若即

为有界数列, 故存在

所以上的增函数. 证明:

使得对一切正整数n , 有

时,

有

故

为无穷小数列. 存在的充要条件是f 在

上有上确界. 设使得

又因为为无穷

小数列, 所以对任

给存在正整数N ,

当因此, 当n>N

上有上界.

则

由f 是增函数

【答案】设f 为定义在上的增函数

且对任给的

存在

上有上界, 由确界原理可知f 在有

, 故

存在, 设为A , 对

而

在, 则对

上

,

, 有

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当

时.

为增函数.

即

. 即

在

,

令

上有上界.

7． 证明:若f 在点x 0连续, 则必连续？

与也在点x 0连续. 又问:若或在Ⅰ上连续, 那么f 在Ⅰ上是否

存

在

, 使得

当

【答案】因为f （x ）在点x 0连续, 所以对任给

的时,

（1）由不等式故（2）由（3）当

. 即

知, 由在点x 0连续.

在点x 0连续.

时,

, 而|f|在x 0连续, 故

或在I 上连续时, f 在I 上不一定连续. 例如, , 则与为

常值函数, 在R 上处处连续, 但f （x ）在R 上处处不连续.

二、解答题

8． 设圆台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm, 高h=40cm, 若R , r , h 分别增加3 mm, 4 mm, 2 mm. 求此圆台体积变化的近似值.

【答案】圆台体积将R = 30, r=20, h=40及

9． 设

从而

代入上式得

在平面上二次连续可微

,

；

.

（1）用u 关于r , 的偏导数表沄

（2）用u 关于r , 的一、二阶偏导数表示【答案】 （1）（2）

10．求函数

在该点切线方向导数.

【答案】因曲线过点（1, 2, ﹣2）, 所以M 的切线方向的方向余弦为:

而

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在点M （1, 2, ﹣2）处沿曲线

于是

故曲线在点