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一、证明题

1． 证明:当且仅当存在各点互不相同的点列

【答案】充分性

若存在时, 有

当充分大时, 这说明P 0是E 的聚点.

必要性 若P 0是E 的聚点, 则对任给的含有E 中的点, 取出一个, 记为P 1.

取

则

中含有E 中的点, 取出一个, 记为P 2. 依此类推, 取

则

这样继续下去, 得到一个各项互异的点列 2． 若函数

. 满足恒等式

中含有E 中的点, 取出一个, 记为P n. 易见

且

中必含有E 中的点, 取

则

中

含有

的无穷多个点, 又

从而

中含有E 中无穷多个点,

时,

则对任给的

时, P 0是E 的聚点.

总存在N , 使得n ＞N

z ）则称F （x , y ，为k 次齐次函数，

试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F （x ，y , z ）为k 次齐次函数的充要条件是:

并证明:

为2次齐次函数.

令

两边对t 求导得

充分性 设令

由己知，得所以（2）因为

3． 设

为开集f , g :

均为可微函数, 证明:, 因为f , g 在x 0处可微, 所以

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【答案】（1）必要性 由令t=l则有

求关于t 的偏导数得

于是仅是x , y , z 的函数，记

，

令

，

因此

所以z （x ，y ）为2次齐次函数. 也是可微函数, 而且

.

【答案】对

又由f

（x

）在x

0处可微

, 知

f 在

x 0

处连续,

从而

所以

在x 0附近有界, 即

, 使

这表明,

4． 设

在x 0处可微,

且

, 由x 0的任意性, 知

, 且存在正实数

与

利用不动点定理证明

:在B 中有惟一的不动点. 【答案】因为

, 有

所以

5． 求证:

,

即f :

, 故由此可知f 在B 中有惟一的不动点.

.

, 使得

只需再证明

将（1）式左端中的变易为x 作辅助函数

. , 对一切

, .

在D 上可微, 且

f :

满足

【答案】对任意给定的x>0, 由柯西中值定理,

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，共

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由此可见

是函数f （X ）在

内的惟一极值点,

并且是极大值点.

从而

是函数f

（X

）的最大值点于是

显然由（2）式推出（1

）式, 所以本题结论成立.

6．

用定义证明下列极限:

【答案】（1）不妨设y>0., y>M时有

,

故

即（2）

.

, 由不等式

.

得

于是取

, 则当

有

故

7．

证明:圆

.

（a>0）上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角.

可得

而当

时, tanx 为单值函数, 因而由

可推出

, 即圆上任一点的切线与向

径夹角等于向径的极角. 8．

（1）（2）

【答案】（1）利用拉格朗日中值定理, 存在

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,

由于, 于是取, , 则当

,

【答案】设切线与向径的夹角为

求证:

使得