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一、证明题

1． 证明:（1）若函数f 在

（3）对任意实数在一点,

使得

, 又因为

于是

, 因此

（2）因为f （x ）在[a, b]上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以在（a , b ）内至少存在一点 使得（3）当

, 又因为

时, 结论成立. 当

时, 设

, 于是

令

由（2）的结论知,

2． 证明:若f 在[a, b]上可积, F 在[a, b]上连续, 且除有限个点外有

【答案】对[a, b]作分割个点为部分分

点, 在每个小区

间

,

使

于是

因为f 在[a, b]上可积, 所以令

3． 试证明:函数F （x , y ）在点一阶偏导数）.

【答案】F 的等值线为F （x , y ）=c, 它在点

的切线方程为

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上可导, 且, 则. 则

（2）若函数f （x ）在[a, b]上可导, 且

都有

【答案】（1）因为f （x ）在[a, b]上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以在（a , b ）内至少存

. 因此

. 则

, 则有

, 使其包含等式F’（x ）=f（x ）不成立的有限

上对F （x ）使用拉格朗日中值定理, 则分别存

在

,

有

的梯度恰好是F 的等值线在点

的法向量（设F 有连续

故等值线在点

的法向量即结论成立.

二、解答题

4． 若f （x ）在[a, b]上连续, 且

则在（a , b ）内至少有一点使得【答案】不妨设

, 即

由极限的局部保号性知, 从而f （x ）k ;

当取

根据连续函数介值性定理, 对

5． 设函数f , g , h , s , t 的定义如下:

试依链式法则求下列复合函数的导数: （1）

; （2）'

; （3）

; （4）, 则

（2）令

, 则

（3）令

则

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,

, 当

时有, 则

. 时有

, 从而f （X ）

因为f （X ）在

,

上连续, .

, 使得

; （5）; （6）.

【答案】（1）令

（4）令

则

（5）令

则

（6）令

则

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