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一、证明题

1． 设

【答案】

下证

是数列

（反证法）. 假设x 0不是数列因

为

对

, 则一定

有

矛盾. 于是必有

此

, 是数列的一个聚点.

2． 设是集合E 的全体聚点所成的点集

,

【答案】因为

是

的一个聚点, 所以

‘试证:数列的一个聚点.

不含有数列

, 所以存在自然数来说,

或者

N ,

当

时,

有

|

这是因为

于

是

即

.

不妨设. 这

与

的聚点. 矛盾. 因

或者

的任意一项. 这里

的聚点, 则存在

的聚点全体恰为闭区间

如若不然, 则

有

这说明B 不可能是数列

是的一个聚点. 试证:

自

设

又因为

是集合E 的全体聚点所成的点集, 因此是E 的一个聚点. 所以

又因为

时

,

, 因此.

即是E 的一个聚点,

所以

3． 确定常数a , b , 使当

证明:

为x 的3阶无穷小.

,

【答案】

于是

欲使f （x ）为三阶无穷小量, 必须有

解之得

4． 应用詹森不等式证明:

（1）设

, 有

（2）设【答案】设由

可知

, 有则

为区间

,

上严格凸函数根据詹姆森不等式有

即

因而

, 把这个不等式中的n 个正数换成, 则得到

于是原不等式得证. （2）设a>0, b>0, p>1, g>1,

,

代入

得

于是

令

得

不等式两端同时乘以

, 再对k=l, 2, …, n 时的不等式两端分别相加, 得

5． 设f 在[a, b]上三阶可导, 证明存在

【答案】令

, 其中

, 由（1）知－lnx 为凸函数, 令

, 使得

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则F （x ）, G （x

）在又因为

所以

在区间使得

上对函数

由

可得

因此

6．

设

并且对于任何

, 则有

对上式两边同时求导, 得

即

7． 设

于是对两边取转置又得

.

有

常数, 证明

应用柯西中值定理可得, 存在

,

上满足柯西中值定理的条件,

于是存在

, 使得

【答案】设

证明:（1）【答案】（1）记

. （2）

为的代数余子式（

）, 于是

因