2018年南开大学数学科学学院718数学分析高等代数之高等代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 计算下列引力:（1）均匀薄片量的引力; （2）均匀柱体
,
, z=0, 对于轴上一点（0, 0, c ）, （c>0）处的单位质, （c>h）处的单位质量的引力; （3）对于点P （0, 0, c ）
均匀密度的正圆锥体（高h , 底半径R ）对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.
【答案】（1）设物体密度为u , 由对称性, 引力必在Z 轴方向上因此.
故
（2）设物体密度为, 则由对称性知
下求
故
其中k 为引力系数.
（3）设物体密度为, 由对称性知
, 只需求设顶点坐标为（0, 0, h ）,
由柱坐标变换（正圆锥体V 在xOy 面投影区域D :
）
.
则引力为
2． 计算积分
【答案】积分区域D 是由
及y=2所围成（如图所示）: , 其中k 为引力系数.
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
图
交换累次积分的顺序,
有
3． 求
【答案】该题无论是化成题简化. 因为
所以原极限
4． 求下列极限:
（1）（2）（3）
【答案】（1）因为
所以
故
.
型还是
型的不定式, 都非常复杂, 但用等价无穷小量替换可使问
专注考研专业课
13年，提供海量考研优质文档！
（2）因为
所以
（3）
5． 设
（2）求【答案】（
1）由于是（2）由得
用莱布尼茨公式对令x=0, 得
又因
6． 设有一吊桥, 其铁链成抛物线形, 两端系于相距100m 高度相同的支柱上, 铁链之最低点在悬点下10m 处, 求铁链与支柱所成之角.
【答案】建立如图所示的坐标系, 则悬点A , B的坐标分别为链的方程为
于是
, 铁链与支柱所成之角
和
. 由此得铁
, 满足方程
,
.
得
, 对上式两边再求导得
. 两边求n 阶导得到
, 从而
其中
.
；
得
两边对x 求导得. ,
.
对
两边对
z 求导,
. .
（1）证明函数y 满足方程