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一、证明题

1． f （x ）在R 上二次可导, 证明: f（x ）在R 上恰有两个零点.

【答案】先证当因为

所以, 当x 的绝对值足够的大的时候, 不妨设当当同理, 当由又由于

时,

时, 的时候, 可知

先单调减少, 再单调递增.

在

各有一个零点.

, 则在x=1处有

【答案】由复合函数求导法则可得

由

得

故当x=1时,

3． 证明:

（1）若的；

（2）若

且对每个正整数n , 在I 上有界, 则

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的时候,

为递增函数。所以

根据连续函数的零点存在定理知,

2． 设函数f 在点x=1处二阶可导. 证明:

若

且f 在I 上有界, 则至多除有限项外在I 上是一致有界

在I 上一致有界.

（1）【答案】不妨设时, 对一切的

均有

由

.

可得, 对于存在N , 当n>N

从而, 证明对所有

的.

（2）因均有

有故除前面N 项（有限项）外是一致有界

存在N , 当n>N时,

对所有

, 由柯西准则知, 对任意正数

故当n>N时, 对所有

又对每个n

, 令界.

有

在I 上有界, 特别地,

, 则对所有正整数N 及对一切

均有

, 即

在I 上一致有

二、解答题

4． 判别下列积分的收敛性:

【答案】令（1）原积分=敛,

5． 设f （x ）是周期为

【答案】设

由条件知由费耶定理，知, 故

6． 验证

【答案】因为

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,, 当2m －1<1时收敛,

时发散, 即当m<1时收

时发散. （2）原积分=

, 所以当ml时发散.

的连续函数，且其傅里叶级数

处处收敛，

求证这个傅里叶级数处处收敛到f （x ）.

，利用极限的性质，得一致收敛于f （x ）所以，

收敛于f （x ）.

是|x|在

上的一个原函数.

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所以

而当x=0时, 有

即

因而

即.

是

在R 上的一个原函数.

7． 设是不含原点的有界区域

, 其体积为V , 边界为光滑的闭曲面, n 是的外法线单位向量, r= （x , y , z ）, f （

x ）是

上的连续可微函数,

它满足微分方程

【答案】

因为:

r= （x , y, z ）

的单位向量为位向量为

,

则

所以

8． 设

令

（1）f （x

）在

. 求证:

上可导,

且导数只在

处不连续; 处不连续.

, 且

, 所以由连续性定理知

, 其中

, 的外法线单

. 求

（2）f （1

）在（0, 1）上可导, 且导数只在【答案】（1）因为

. 又当

时,

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