当前位置：问答库＞考研试题

一、选择题

1． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

2． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则

的通解为（ ）

【答案】C 【解析】由

于又显然有基础解系.

考虑到

是

的一个特解，所以选C.

3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

第 2 页，共 47 页

则A 与B （ ）.

所以A 的特征值为3，3，0；而

的3个线性无关的解，为任意

是非齐次线性方程

组，所以有解矛盾）

的三个线性无关的解，所

以从而

是

的一个

是对应齐次线性方程组（否则与

的两个线性无关的解.

中选三个向量组

若选

从而否定A ,

若选从而否定C ,

故选B.

4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

5．

设

是3维向量空

间的过渡矩阵为（ ）

.

的一组基, 则由

基

到基

【答案】（A ）

二、分析计算题

6． 计算以下

阶行列式

【答案】解法I 各列都加到第一列，再按第一列展开，得

解法II 将第一列加到第二列，再将第二列加到第三列，得主对角线上元素为

第 3 页，共 47 页

最后将第n 列加到第n+1列，即

的一个下三角形行列式. 因此

7． 矩阵A 称为对称的，如果

【答案】设

则

证明：如果A 是实对称矩阵且

那么

于

是

即

是线性方程组

8． 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和为3, 向量

的两个解.

（1）求A 的特征值与特征向量. （2）求正交矩阵Q 和对角阵D ，便（3）求行列式【答案】（1）由到A 是3阶矩阵，故不全为0的实数；

（2）将

正交化，则

再单位化，得

将单位化，得

令

则Q 是正交矩阵，D 是对角阵，且（3）由A 的全部特征值为B 的全部特征值为

且

则于是

第 4 页，共 47 页

由于所

有皆为实数，故所

有

其中B 是

的相似矩阵，

是B 的伴随矩阵.

的两个线性无的特征向量. 注意

是

是线性方程组的解，则是A 的属于特征值是A 的属于特征值

关的特征向量. 由A 的各行元素之和为3, 则

是A 的特征值，对应的特征向量分别

的全部特征值为

由

则